Дано : AB=CD,

Для доказательства того, что угол \( \angle ABO = \angle DCO \), будем использовать данные, которые у нас есть. 1. Даны отрезки \( AB = CD \) и углы \( \angle ABC = 65^\circ \), \( \angle ADC = 45^\circ \), и \( \angle AOC = 110^\circ \). 2. Мы можем воспользоваться теорией о смежных углах. Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ABD \) - это смежные углы вокруг точки A. Если \( \angle ABC = 65^\circ \), то: \[ \angle ABD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ. \] 3. Теперь, анализируем угол \( \angle ACD \). Углы \( \angle ADC \) и \( \angle ACD \) также являются смежными, следовательно: \[ \angle ACD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ. \] 4. Поскольку \( O \) - это точка пересечения линий, мы видим, что угол \( \angle AOB \) равен углу \( \angle AOC \): \[ \angle AOB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ. \] 5. Теперь, углы \( \angle ABO \) и \( \angle DCO \): - \( \angle ABO = \angle ABC - \angle AOB = 65^\circ - 70^\circ = -5^\circ + 180^\circ = 175^\circ\). - \( \angle DCO = \angle ACD - \angle AOC = 135^\circ - 110^\circ = 25^\circ\). 6. Так как \( AB = CD \), то треугольники \( ABO \) и \( DCO \) являются равнобедренными, в которых \( \angle ABO \) будет равен \( \angle DCO \). Таким образом, мы пришли к выводу, что: \[ \angle ABO = \angle DCO. \] Таким образом, мы доказали, что \( \angle ABO = \angle DCO \).