Давайте запишем ваши уравнения формально:
- (\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1) (1)
- (\sqrt{xy} = 2) (2)
Теперь попробуем решить эту систему уравнений.
Сначала выразим (\sqrt{y}) из первого уравнения:
[
\sqrt{y} = \sqrt{x} - 1
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
\sqrt{x(\sqrt{x} - 1)^2} = 2
]
Распишем ((\sqrt{x} - 1)^2):
[
(\sqrt{x} - 1)^2 = x - 2\sqrt{x} + 1
]
Тогда у нас получится:
[
\sqrt{x(x - 2\sqrt{x} + 1)} = 2
]
Подквадратим обе стороны:
[
x(x - 2\sqrt{x} + 1) = 4
]
Тогда уравнение станет:
[
x^2 - 2x\sqrt{x} + x - 4 = 0
]
Теперь представим переменную (z = \sqrt{x}) (то есть (x = z^2)):
[
(z^2)^2 - 2z^2z + z^2 - 4 = 0
]
Упрощая это уравнение, получаем:
[
z^4 - 2z^3 + z^2 - 4 = 0
]
Это уравнение можно решить численно или графически, но также можно проверять возможные значения непосредственно для (x) и (y).
Продолжая, найдём значения (x) и (y):
Подставим (\sqrt{x} = t):
- (t - \sqrt{y} = 1 \Rightarrow \sqrt{y} = t - 1)
- (t(t - 1) = 2)
Тогда получаем:
[
t^2 - t - 2 = 0
]
Решаем это квадратное уравнение:
[
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
]
То есть:
[
t = 2 \quad \text{или} \quad t = -1
]
Поскольку (t = \sqrt{x}), мы берем только положительное значение: (t = 2).
Следовательно:
[
\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4
]
Теперь подставим это значение обратно, чтобы найти (y):
[
\sqrt{y} = 2 - 1 = 1 \Rightarrow y = 1
]
Итак, мы получили:
[
x = 4, \quad y = 1
]
Или в виде ответа:
( (x, y) = (4, 1) )
