lg(x²-2x-4)=lg11
Для решения уравнения \( \lg(x² - 2x - 4) = \lg(11) \), начнем с того, что логарифмы равны, если их аргументы равны. Это позволяет нам записать следующее уравнение:
\[ x² - 2x - 4 = 11 \]
Давайте упростим его. Переносим 11 в левую часть уравнения:
\[ x² - 2x - 4 - 11 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x² - 2x - 15 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \). Подставляем значения:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \]
Сначала вычислим дискриминант:
\[ (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} \]
Так как \( \sqrt{64} = 8 \), мы имеем:
\[ x = \frac{2 \pm 8}{2} \]
Теперь найдем два возможных значения \( x \):
- \( x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Мы получили два решения: \( x = 5 \) и \( x = -3 \).
Однако, поскольку мы работаем с логарифмами, необходимо убедиться, что аргумент логарифма \( x² - 2x - 4 \) положителен. Проверим:
Для \( x = 5 \): \[ 5² - 2 \cdot 5 - 4 = 25 - 10 - 4 = 11 > 0 \]
Для \( x = -3 \): \[ (-3)² - 2 \cdot (-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11 > 0 \]
Оба значения дают положительный аргумент для логарифма, таким образом, оба решения корректны.
Таким образом, окончательные решения уравнения: \[ x = 5 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
