Lg(x²-2x-4)=lg11

Для решения уравнения \( \lg(x² - 2x - 4) = \lg(11) \), начнем с того, что логарифмы равны, если их аргументы равны. Это позволяет нам записать следующее уравнение: \[ x² - 2x - 4 = 11 \] Давайте упростим его. Переносим 11 в левую часть уравнения: \[ x² - 2x - 4 - 11 = 0 \] Упрощаем: \[ x² - 2x - 15 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \] Сначала вычислим дискриминант: \[ (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \] Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} \] Так как \( \sqrt{64} = 8 \), мы имеем: \[ x = \frac{2 \pm 8}{2} \] Теперь найдем два возможных значения \( x \): 1. \( x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) 2. \( x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) Мы получили два решения: \( x = 5 \) и \( x = -3 \). Однако, поскольку мы работаем с логарифмами, необходимо убедиться, что аргумент логарифма \( x² - 2x - 4 \) положителен. Проверим: 1. Для \( x = 5 \): \[ 5² - 2 \cdot 5 - 4 = 25 - 10 - 4 = 11 > 0 \] 2. Для \( x = -3 \): \[ (-3)² - 2 \cdot (-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11 > 0 \] Оба значения дают положительный аргумент для логарифма, таким образом, оба решения корректны. Таким образом, окончательные решения уравнения: \[ x = 5 \quad \text{и} \quad x = -3 \]