Как

Привет! Давай разберёмся с интегралом, который ты показал:

\[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cdot \sin(\pi x) \, dx \]

Чтобы решить его, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами, в частности продуктом синусов. Есть тождество, которое связывает произведение синусов с суммой и разностью углов:

\[ \sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]

Подставим \( A = x \) и \( B = \pi x \):

\[ \sin(x) \sin(\pi x) = \frac{1}{2} [\cos(x - \pi x) - \cos(x + \pi x)] \]

Это становится:

\[ \sin(x) \sin(\pi x) = \frac{1}{2} [\cos(-(\pi - 1)x) - \cos((\pi + 1)x)] \]

Теперь нужно проинтегрировать каждое слагаемое:

1. \(\int_{0}^{\pi} \cos((\pi - 1)x) \, dx\)
2. \(- \int_{0}^{\pi} \cos((\pi + 1)x) \, dx\)

Определённые интегралы от косинусов в отрезке от 0 до \( \pi \) ведут себя так, что оба интеграла будут равны нулю из-за свойства периодичности и симметрии косинусной функции, когда она покрывает полный период.

Поэтому интеграл равен 0.

Если тебе что-то непонятно, давай обсудим!