81x²<16
Чтобы решить неравенство \( 81x^2 < 16 \), давайте начнем с приведения его к более простому виду.
Переносим 16 на левую сторону неравенства: \[ 81x^2 - 16 < 0 \]
Это неравенство можно записать в виде разности квадратов: \[ (9x)^2 - 4^2 < 0 \]
Теперь используем формулу разности квадратов: \[ (9x - 4)(9x + 4) < 0 \]
Для решения неравенства определим нули каждого множителя: \[ 9x - 4 = 0 \Rightarrow 9x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{9} \] \[ 9x + 4 = 0 \Rightarrow 9x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{9} \]
Теперь у нас есть два критических значения: \( x = -\frac{4}{9} \) и \( x = \frac{4}{9} \). Эти значения разделяют числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \)
- \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \)
- \( (\frac{4}{9}, +\infty) \)
Проведем тестирование знаков на каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \), возьмем, например, \( x = -1 \): \[ (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-9 - 4)(-9 + 4) = (-13)(-5) = 65 > 0 \]
Для интервала \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \), возьмем, например, \( x = 0 \): \[ (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) = -16 < 0 \]
Для интервала \( (\frac{4}{9}, +\infty) \), возьмем, например, \( x = 1 \): \[ (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (9 - 4)(9 + 4) = (5)(13) = 65 > 0 \]
Суммируя результаты, получаем, что неравенство справедливо на интервале \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \).
Таким образом, решение неравенства \( 81x^2 < 16 \) — это: \[ x \in \left( -\frac{4}{9}, \frac{4}{9} \right) \]
