17Дайте определение степени с действительным показателем, перечислите свойства степени действительным показателем. 18. Дайте определение корня п-ой степени, перечислите свойства…

17. Степень с действительным показателем - это математическая операция, заключающаяся в возведении числа в степень, где показатель степени является действительным числом. Степень записывается в виде \( a^x \), где \( a \) – основание степени, а \( x \) – действительный показатель.

Свойства степени с действительным показателем:

• \( a^0 = 1 \) (для \( a \neq 0 \))
• \( a^1 = a \)
• \( a^{-x} = \frac{1}{a^x} \)
• \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \)
• \( a^{xy} = (a^x)^y \)
• \( (a^x)^y = a^{xy} \)
• \( (ab)^x = a^x \cdot b^x \)
• \( \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \)

18. Корень p-ой степени - это операция, обратная возведению в степень. Корень p-ой степени из числа \( a \) обозначается как \( \sqrt[p]{a} \) и определяет такое число \( b \), что \( b^p = a \).

Свойства корня p-ой степени:

• \( \sqrt[p]{a}^p = a \)
• \( \sqrt[p]{a \cdot b} = \sqrt[p]{a} \cdot \sqrt[p]{b} \)
• \( \sqrt[p]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[p]{a}}{\sqrt[p]{b}} \)
• \( \sqrt[p]{a^n} = a^{\frac{n}{p}} \)

19. Логарифм - это математическая операция, которая показывает, сколько раз нужно умножить основание, чтобы получить заданное число. Логарифм \( b \) по основанию \( a \) обозначается как \( \log_a b \) и является решением уравнения \( a^x = b \).

Виды логарифмов:

• Десятичный логарифм (\( \log_{10} \))
• Натуральный логарифм (\( \ln \), основание \( e \))
• Логарифмы с любым другим основанием

Свойства логарифмов:

• \( \log_a 1 = 0 \)
• \( \log_a a = 1 \)
• \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
• \( \log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c \)
• \( \log_a (b^n) = n \cdot \log_a b \)
• \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) (изменение основания)

20. Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины угла). Углы измеряются в градусах и радианах.

Виды углов:

• Острый угол (меньше 90°)
• Прямой угол (равен 90°)
• Тупой угол (больше 90° и меньше 180°)
• Развернутый угол (равен 180°)

Меры измерения углов:

• Градусы (°)
• Радианы (rad)

Формулы перехода:

• \( 180° = \pi \, \text{рад} \)
• \( 1 \, \text{рад} = \frac{180°}{\pi} \)

21. Тригонометрические функции единичной окружности - это функции, которые выражают соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, расположенном на единичной окружности. Основные тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Знаки тригонометрических функций на единичной окружности:

• Первый квадрант: sin > 0, cos > 0
• Второй квадрант: sin > 0, cos < 0
• Третий квадрант: sin < 0, cos < 0
• Четвертый квадрант: sin < 0, cos > 0

22. Период функции – это минимальное положительное значение \( T \), при котором функция повторяет свои значения, т.е. \( f(x + T) = f(x) \).

Наименьший положительный период:

• Для \( \sin x \) и \( \cos x \) период равен \( 2\pi \).
• Для \( tg x \) и \( ctg x \) период равен \( \pi \).

23. Основные тригонометрические тождества:

• \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
• \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \)
• \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \)

24. Формулы приведения - это соотношения, которые связывают тригонометрические функции углов, отличающихся на \( 180° \) или \( 90° \):

• \( \sin(x + 180°) = -\sin x \)
• \( \cos(x + 180°) = -\cos x \)
• \( \sin(x + 90°) = \cos x \)
• \( \cos(x + 90°) = -\sin x \)

25. Тригонометрическая функция \( y = \sin x \) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Свойства функции \( y = \sin x \):

• Период: \( 2\pi \)
• Амплитуда: 1
• Знак: положителен в I и II квадрантах, отрицателен в III и IV квадрантах

График: График синуса представляет собой периодическую волну, доходящую до 1 и опускающуюся до -1.

26. Тригонометрическая функция \( y = \cos x \) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Свойства функции \( y = \cos x \):

• Период: \( 2\pi \)
• Амплитуда: 1
• Знак: положителен в I и IV квадрантах, отрицателен во II и III квадрантах

График: График косинуса также представляет собой периодическую волну, аналогичную графику синуса, но с фазовым сдвигом.

27. Тригонометрическая функция \( y = \tan x \) определяется как отношение синуса к косинусу: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).

Свойства функции \( y = \tan x \):

• Период: \( \pi \)
• Имеет вертикальные асимптоты при \( \cos x = 0 \) (в \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \))
• Меняет знак на границе между квадрантами

График: График тангенса имеет периодические ветви, которые стремятся к бесконечности при подходе к вертикальным асимптотам.

28. Тригонометрическая функция \( y = \cot x \) – это обратная тангенсу: \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \).

Свойства функции \( y = \cot x \):

• Период: \( \pi \)
• Имеет вертикальные асимптоты при \( \sin x = 0 \) (в \( x = k\pi, k \in \mathbb{Z} \))
• Меняет знак на границе между квадрантами

График: График котангенса также содержит периодически расположенные ветви, стремящиеся к вертикальным асимптотам.

29. Обратные тригонометрические функции - это функции, которые позволяют находить угол, зная значение тригонометрической функции. Они включают: арксинус (\( \arcsin x \)), арккосинус (\( \arccos x \)), арктангенс (\( \arctan x \)), арккотангенс (\( \arccot x \)) и другие.

30. Простейшие тригонометрические уравнения:

• \( \sin x = 0 \)
• \( \cos x = 0 \)
• \( \tan x = 0 \)
• \( \sin x = k \) (где \( -1 \leq k \leq 1 \))
• \( \cos x = k \) (где \( -1 \leq k \leq 1 \))
• \( 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \)

Эти уравнения также могут иметь частные случаи, в зависимости от диапазона значений \( k \) и особенностей функции.