Рассмотрим квадрат ABCD со стороной, равной 1 (для упрощения расчетов). Обозначим координаты вершин квадрата следующим образом:
- A(0, 1)
- B(1, 1)
- C(1, 0)
- D(0, 0)
Теперь мы найдем точку M, которая делит отрезок BC в отношении 2:3, считая от точки C (также можно сказать, что M находится ближе к B). Для этого используем формулу деления отрезка:
Координаты точки M можно найти следующим образом:
Находим разность между координатами B и C:
[
B(1, 1) - C(1, 0) = (1 - 1, 1 - 0) = (0, 1)
]
Теперь делим это направление на 5 частей (2 + 3 = 5) и берем 2 части от C:
[
M = C + \frac{2}{5} (B - C) = (1, 0) + \frac{2}{5}(0, 1) = (1, 0) + (0, \frac{2}{5}) = (1, \frac{2}{5})
]
Теперь определим трапецию AMCD: её вершины — A(0, 1), M(1, \frac{2}{5}), C(1, 0), D(0, 0).
Для нахождения площади трапеции AMCD, воспользуемся формулой площади трапеции:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h
]
где (a) и (b) — длины оснований, а (h) — высота.
В нашей трапеции:
- Длина основания AM = 1 (разница по координате Y от A до M = 1 - (\frac{2}{5} = \frac{3}{5})),
- Длина основания CD = 1 (разница по координате Y от C до D = 0 - 0 = 0),
- Высота h = 1 (разница по координате X от A до C = 1 - 0 = 1).
Площадь трапеции AMCD:
[
S_{AMCD} = \frac{1}{2} \cdot (1 + 0) \cdot 1 = \frac{1}{2}
]
Теперь найдём площадь всего квадрата ABCD:
[
S_{ABCD} = 1 \cdot 1 = 1
]
Вероятность того, что случайно выбранная точка X принадлежит трапеции AMCD, равна отношению площади трапеции к площади квадрата:
[
P(X \in AMCD) = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}
]
Таким образом, правильный ответ — 1/2.
