(x+2)(x+3)/(x-2)^2 <=0

Чтобы решить неравенство \(\frac{(x+2)(x+3)}{(x-2)^2} \leq 0\), давайте рассмотрим каждый элемент неравенства.

1. Найдем нули числителя: Сделаем это, равня \( (x+2)(x+3) = 0 \):

   • \( x + 2 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \)
   • \( x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -3 \)

   Таким образом, нули числителя: \( x = -2 \) и \( x = -3 \).

2. Найдем нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \( (x-2)^2 = 0 \):

   • \( x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = 2 \)

3. Определим интервалы: Теперь мы имеем критические точки: \( -3 \), \( -2 \) и \( 2 \). Они делят числовую прямую на следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -3) \)
   • \( (-3, -2) \)
   • \( (-2, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

4. Проверим знак функции на каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -3) \), например, возьмем \( x = -4 \): \[ \frac{(-4+2)(-4+3)}{(-4-2)^2} = \frac{(-2)(-1)}{36} > 0 \]
   • Для интервала \( (-3, -2) \), например, возьмем \( x = -2.5 \): \[ \frac{(-2.5+2)(-2.5+3)}{(-2.5-2)^2} = \frac{(-0.5)(0.5)}{(-4.5)^2} < 0 \]
   • Для интервала \( (-2, 2) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ \frac{(0+2)(0+3)}{(0-2)^2} = \frac{(2)(3)}{4} > 0 \]
   • Для интервала \( (2, +\infty) \), например, возьмем \( x = 3 \): \[ \frac{(3+2)(3+3)}{(3-2)^2} = \frac{(5)(6)}{1} > 0 \]

5. Подводим итог по интервалам:

   • Интервал \( (-\infty, -3) \): знак положительный.
   • Интервал \( (-3, -2) \): знак отрицательный.
   • Интервал \( (-2, 2) \): знак положительный.
   • Интервал \( (2, +\infty) \): знак положительный.

6. С учетом неравенства: Неравенство \(\frac{(x+2)(x+3)}{(x-2)^2} \leq 0\) выполняется только на интервале \((-3, -2]\), где в точке \( x = -3 \) функция равна нулю.

При этом, точка \( x = 2 \) не включается в решение, поскольку в ней функция неопределена.

Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in [-3, -2] \]