решите неравенство (x-1)²←√2(x-1)

Чтобы решить неравенство \((x-1)^2 ≤ √2(x-1)\), начнем с анализа выражения.

1. Переносим все слагаемые на одну сторону неравенства:

\[ (x-1)^2 - √2(x-1) ≤ 0. \]

2. Введем новую переменную \(y = x - 1\). Теперь неравенство упрощается до:

\[ y^2 - √2y ≤ 0. \]

3. Это неравенство можно факторизовать:

\[ y(y - √2) ≤ 0. \]

4. Теперь найдем нули функции:

\(y = 0\) и \(y = √2\).

5. Проанализируем знак функции \(y(y - √2)\) на интервалах, определяемых найденными нулями. Рассмотрим интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, √2)\), и \((√2, +∞)\).

• Для \(y < 0\): обе части \((y\) и \(y - √2)\) отрицательны, следовательно, произведение положительно.
• Для \(0 < y < √2\): \(y\) положительно, а \((y - √2)\) отрицательно, произведение отрицательное.
• Для \(y = 0\) или \(y = √2\): неравенство равно нулю (включаем эти значения).
• Для \(y > √2\): обе части положительны, произведение положительно.

6. Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

\[ y \in [0, √2]. \]

7. Вернемся к переменной \(x\):

\[ 0 ≤ x - 1 ≤ √2. \]

8. Это можно переписать как:

\[ 1 ≤ x ≤ 1 + √2. \]

Таким образом, решение неравенства:

\[ x ∈ [1, 1 + √2]. \]

Если будут дополнительные вопросы, обращайтесь!