Решите неравенство (x-1)²←√2(x-1)

Чтобы решить неравенство \((x-1)^2 ≤ √2(x-1)\), начнем с анализа выражения. 1. Переносим все слагаемые на одну сторону неравенства: \[ (x-1)^2 - √2(x-1) ≤ 0. \] 2. Введем новую переменную \(y = x - 1\). Теперь неравенство упрощается до: \[ y^2 - √2y ≤ 0. \] 3. Это неравенство можно факторизовать: \[ y(y - √2) ≤ 0. \] 4. Теперь найдем нули функции: \(y = 0\) и \(y = √2\). 5. Проанализируем знак функции \(y(y - √2)\) на интервалах, определяемых найденными нулями. Рассмотрим интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, √2)\), и \((√2, +∞)\). - Для \(y < 0\): обе части \((y\) и \(y - √2)\) отрицательны, следовательно, произведение положительно. - Для \(0 < y < √2\): \(y\) положительно, а \((y - √2)\) отрицательно, произведение отрицательное. - Для \(y = 0\) или \(y = √2\): неравенство равно нулю (включаем эти значения). - Для \(y > √2\): обе части положительны, произведение положительно. 6. Таким образом, неравенство выполняется на интервале: \[ y \in [0, √2]. \] 7. Вернемся к переменной \(x\): \[ 0 ≤ x - 1 ≤ √2. \] 8. Это можно переписать как: \[ 1 ≤ x ≤ 1 + √2. \] Таким образом, решение неравенства: \[ x ∈ [1, 1 + √2]. \] Если будут дополнительные вопросы, обращайтесь!