Составить каноническое уравнение следующих прямых: {x-2y+2z-7=0 x+3y-2z+3=0}
Чтобы составить каноническое уравнение прямых, заданных системой уравнений, мы начнем с представленных вами уравнений:
- \( x - 2y + 2z - 7 = 0 \)
- \( x + 3y - 2z + 3 = 0 \)
Для начала, проанализируем их. Мы можем решить эту систему, чтобы найти параметры прямой, которая проходит через общую точку.
Сначала выразим \( z \) из обоих уравнений:
Из первого уравнения:
\[ 2z = 7 - x + 2y \quad \Rightarrow \quad z = \frac{7 - x + 2y}{2} \]
Из второго уравнения:
\[ -2z = -3 - x - 3y \quad \Rightarrow \quad z = \frac{-3 - x - 3y}{2} \]
Теперь приравняем оба полученных выражения для \( z \):
\[ \frac{7 - x + 2y}{2} = \frac{-3 - x - 3y}{2} \]
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 7 - x + 2y = -3 - x - 3y \]
Переносим все члены на одну сторону:
\[ 7 + 3 + 2y + 3y = x - x \] \[ 10 + 5y = 0 \]
Теперь выразим \( y \):
\[ 5y = -10 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \]
Подставим \( y = -2 \) обратно в одно из уравнений для нахождения \( z \):
Подставим в первое уравнение:
\[ x - 2(-2) + 2z - 7 = 0 \] \[ x + 4 + 2z - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + 2z - 3 = 0 \] \[ 2z = 3 - x \quad \Rightarrow \quad z = \frac{3 - x}{2} \]
Теперь у нас есть система:
- \( y = -2 \)
- \( z = \frac{3 - x}{2} \)
Система выражает прямую в параметрической форме.
Чтобы представить это в канонической форме, мы должны выразить векторное уравнение. Принимаем \( x = t \) (параметр), тогда:
\[ y = -2 \] \[ z = \frac{3 - t}{2} \]
Теперь, можем записать векторное уравнение прямой:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -2 \\ \frac{3 - t}{2} \end{pmatrix} \]
Вот вам и каноническое уравнение прямой, заданной вашими уравнениями. Надеюсь, это разъяснение было полезно и понятным! Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим темам, пожалуйста, дайте знать.
