Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x², y²= x
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y^2 = x\), начнем с нахождения точек их пересечения.
Найдём точки пересечения: Уравнение \(y^2 = x\) можно переписать как \(x = y^2\). Теперь подставим \(y = x^2\) в это уравнение:
\[ (x^2)^2 = x \]
Это приводит к уравнению:
\[ x^4 - x = 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x^3 - 1) = 0 \]
Получаем, что \(x = 0\) или \(x^3 - 1 = 0\) (т.е. \(x = 1\)). Следовательно, точки пересечения находятся в \(x = 0\) и \(x = 1\).
Теперь найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x = 0\): \[ y = 0^2 = 0 \]
Для \(x = 1\): \[ y = 1^2 = 1 \]
Таким образом, точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).
Определим площадь фигуры: Площадь между двумя кривыми можно найти, интегрируя разность верхней и нижней функции. В нашем случае, на интервале от \(x = 0\) до \(x = 1\), верхняя функция \(y = y^2 = x\), а нижняя \(y = x^2\).
Площадь \(A\) вычисляется по формуле:
\[ A = \int_{a}^{b} (Верхняя\ функция - Нижняя\ функция) \, dx \]
Подставляя наши значения:
\[ A = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) \, dx \]
Вычисляем интеграл:
Сначала найдём интеграл \(x^{1/2}\):
\[ \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \]
Теперь интеграл \(x^2\):
\[ \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} x^3 \]
Таким образом, площадь равна:
\[ A = \left[\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} \]
Подставляя пределы:
\[ A = \left(\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 1^3\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 0^3\right) \]
Это упрощается до:
\[ A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2\) и \(y^2 = x\), равна \(\frac{1}{3}\).
