Конечно! Давайте разберем ваши вопросы по очереди.
- Для функции ( y = \log_5\left(\frac{6 - x}{3x + 2}\right) ) область определения — это те значения ( x ), для которых аргумент логарифма положителен:
[
\frac{6 - x}{3x + 2} > 0
]
Это значит, что числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Рассмотрим два случая:
( 6 - x > 0 ) и ( 3x + 2 > 0 ):
- ( 6 - x > 0 ) → ( x < 6 )
- ( 3x + 2 > 0 ) → ( x > -\frac{2}{3} )
( 6 - x < 0 ) и ( 3x + 2 < 0 ):
- ( 6 - x < 0 ) → ( x > 6 ) (не может выполняться одновременно)
- ( 3x + 2 < 0 ) → ( x < -\frac{2}{3} )
Таким образом, рассматриваем только первый случай:
Объединяя условия ( -\frac{2}{3} < x < 6 ), получаем область определения:
[
D = \left( -\frac{2}{3}, 6 \right)
]
- Рассмотрим неравенство
[
\log_{0.1}(3x - 1) \geq \log_{0.1}(x + 3)
]
Поскольку база логарифма меньше 1, знаки неравенства меняются:
[
3x - 1 \leq x + 3
]
Решим это неравенство:
[
3x - x \leq 3 + 1
]
[
2x \leq 4
]
[
x \leq 2
]
Также необходимо учитывать, чтобы выражения под логарифмами были положительными:
- ( 3x - 1 > 0 ) → ( x > \frac{1}{3} )
- ( x + 3 > 0 ) → всегда верно для всех ( x ).
Итак, окончательное значение:
[
\frac{1}{3} < x \leq 2
]
- Упростим выражение
[
\frac{\sin(\pi - \alpha) \cdot \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha) \cdot \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha)}
]
Помним, что:
- ( \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) )
- ( \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan(\alpha) )
- ( \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha) )
- ( \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan(\alpha) )
Тогда упрощаем:
[
\frac{\sin(\alpha) \cdot \tan(\alpha)}{\tan(\alpha) \cdot (-\tan(\alpha))} = \frac{\sin(\alpha)}{-\tan^2(\alpha)}
]
Это можно переписать как:
[
-\frac{\sin(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} = -\frac{\sin^3(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}
]
- Вычислим:
[
2\cos(420^\circ) + \frac{1}{\sqrt{3}} \tan(120^\circ)
]
Сначала упростим углы:
[
420^\circ = 420 - 360 = 60^\circ \implies \cos(420^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}
]
[
\tan(120^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}
]
Теперь подставляем:
[
2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3}) = 1 - 1 = 0
]
- Вычислим:
[
\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
]
Значения:
[
\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}
]
[
\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}
]
Теперь подставляем:
[
-\frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{15\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + \frac{10\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}
]
- Решим уравнение:
[
2\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \sqrt{3}
]
Делим обе стороны на 2:
[
\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Решения:
[
\frac{\pi}{3} - 2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
]
( \frac{\pi}{3} - 2x = \frac{\pi}{6} )
[
-2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \rightarrow -2x = -\frac{\pi}{6} \rightarrow x = \frac{\pi}{12}
]
( \frac{\pi}{3} - 2x = -\frac{\pi}{6} )
[
-2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \rightarrow -2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} \rightarrow 2x = \frac{3\pi}{6} \rightarrow x = \frac{\pi}{4}
]
Итак, решение:
[
x = \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4} + k
]
- Для построения графика функции ( y = 3^{x + 1} - 4 ):
Определите основные точки. Например, при ( x = 0 ):
[
y = 3^{0 + 1} - 4 = 3 - 4 = -1
]
При ( x = 1 ):
[
y = 3^{1 + 1} - 4 = 9 - 4 = 5
]
При ( x = -1 ):
[
y = 3^{0} - 4 = 1 - 4 = -3
]
График представляет собой стандартную экспоненциальную функцию, смещенную вниз на 4 единицы.
- Решим уравнение:
[
6\sin^2 x + 4\sin x \cos x = 1
]
Преобразуем: назовем ( \sin x = t ), тогда ( \cos^2 x = 1 - t^2 ). Подставим:
[
6t^2 + 4t\sqrt{1 - t^2} = 1
]
Это уравнение можно решить численно или, если необходимо, с помощью замены.
- Вычислим ( \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos \alpha = \frac{5}{13}, 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} ).
Используем формулы:
[
\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{3}\cos \alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin \alpha
]
Подставляя:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha = \frac{5}{13}
]
Это можно решить через систему уравнений или замены.
- Для определения скорости ( C ):
У вас задана формула частоты:
[
\mu = \mu_0 \cdot \frac{C + u}{C - v}
]
[ \mu_0 = 170 , Гц, u = 2 , м/с, v = 17 , м/с ]
И решаем уравнение:
[
\mu \geq 180
]
[
\frac{170 \cdot (C + 2)}{C - 17} \geq 180
]
Преобразуем:
[
170(C + 2) \geq 180(C - 17)
]
[
170C + 340 \geq 180C - 3060
]
[
3440 \geq 10C \Rightarrow C \leq 344
]
Таким образом, максимальная скорость ( C ) должна быть меньше или равна ( 344 , м/с ).
Если у вас остались дополнительные вопросы или необходимо что-то еще прояснить, с удовольствием помогу!
