1/х²-7х+12 × √6 -х ≥ 0

Чтобы решить неравенство \( \frac{1}{x^2 - 7x + 12} \cdot \sqrt{6 - x} \geq 0 \), давайте начнем с анализа каждого компонента.

1. Определим область определения:

   • Сначала нужно найти, когда знаменатель \( x^2 - 7x + 12 \neq 0 \). Для этого решим уравнение \( x^2 - 7x + 12 = 0 \). Это квадратное уравнение можно разложить на множители: \[ (x - 3)(x - 4) = 0 \] Значит, \( x = 3 \) и \( x = 4 \) – точки, в которых знаменатель равен нулю. Эти значения нельзя использовать в решении.

2. Условие под корнем:

   • Чтобы \( \sqrt{6 - x} \) было определено, необходимо, чтобы \( 6 - x \geq 0 \), что означает \( x \leq 6 \).

Таким образом, область определения нашего неравенства – это \( x \leq 6 \), при этом \( x \neq 3 \) и \( x \neq 4 \).

3. Анализ знаков:
   • Рассмотрим, как ведет себя выражение \( \frac{1}{x^2 - 7x + 12} \) и \( \sqrt{6 - x} \):
     • \( \sqrt{6 - x} \) будет неотрицательным, когда \( x < 6 \) (в точке \( x = 6 \) будет равно 0).
     • \( x^2 - 7x + 12 \): проанализируем его знак.
       • Для \( x < 3 \): оба множителя положительные, следовательно, дробь положительная.
       • Для \( 3 < x < 4 \): здесь дробь отрицательная.
       • Для \( x > 4 \): оба множителя снова положительные, дробь положительная.

Таким образом, функции меняют знак в точках \( x = 3 \) и \( x = 4 \).

4. Решение неравенства:

   • Мы хотим, чтобы всё выражение \( \frac{1}{x^2 - 7x + 12} \sqrt{6 - x} \geq 0 \).
   • Это невозможно для \( 3 < x < 4 \) (где дробь отрицательная, а корень положительный).
   • В остальном диапазоне \( x < 3 \) и \( 4 < x \leq 6 \) выражение будет положительным.

5. Итоговое решение: \[ x \in (-\infty, 3) \cup (4, 6] \]

Это и будет областью, где неравенство выполняется. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!