Прямая у = -5х + 8 лиляется касательной к графику функции у = 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцыс точки касания больше 0.
Чтобы найти значение \( b \), при котором прямая \( y = -5x + 8 \) является касательной к графику функции \( y = 28x^2 + bx + 15 \), необходимо выполнить несколько шагов:
Найдем производную функции \( y = 28x^2 + bx + 15 \): \[ y' = 56x + b \]
Условие касания: Производная в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом касательной (коэффициентом при \( x \) в уравнении прямой): \[ 56x_0 + b = -5 \]
Подставим уравнение касательной в уравнение функции: Касательная и функция должны пересекаться в одной и той же точке. Поэтому: \[ -5x_0 + 8 = 28x_0^2 + bx_0 + 15 \]
Перепишем уравнение: \[ 28x_0^2 + (b + 5)x_0 + 7 = 0 \]
Для того чтобы прямая касалась графика функции, данное квадратное уравнение должно иметь ровно одно решение. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю: \[ D = (b + 5)^2 - 4 \cdot 28 \cdot 7 = 0 \]
Вычислим дискриминант: \[ D = (b + 5)^2 - 784 = 0 \] \[ (b + 5)^2 = 784 \] \[ b + 5 = \pm 28 \]
Из этого уравнения получаем два решения: \[ b + 5 = 28 \quad \Rightarrow \quad b = 23 \] \[ b + 5 = -28 \quad \Rightarrow \quad b = -33 \]
Выберем подходящее значение \( b \): Теперь нам нужно определить, какое значение подходит, учитывая, что абсцисса точки касания \( x_0 \) больше 0.
Найдем \( x_0 \) для обоих случаев:
Для \( b = 23 \): \[ 56x_0 + 23 = -5 \quad \Rightarrow \quad 56x_0 = -28 \quad \Rightarrow \quad x_0 = -\frac{28}{56} = -0.5 \quad (\text{не подходит}) \]
Для \( b = -33 \): \[ 56x_0 - 33 = -5 \quad \Rightarrow \quad 56x_0 = 28 \quad \Rightarrow \quad x_0 = \frac{28}{56} = 0.5 \quad (\text{подходит}) \]
Итак, единственное подходящее значение для \( b \) = -33.
Ответ: \( b = -33 \)
