найдите точку минимума функции у=x^3-8,5x^2+10x-13
Чтобы найти точку минимума функции \( y = x^3 - 8.5x^2 + 10x - 13 \), нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Найти критические точки, установив производную равной нулю.
- Определить прирост и убывание функции, чтобы выяснить, является ли найденная критическая точка минимумом.
Шаг 1: Нахождение производной
Найдём первую производную функции:
\[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 17x + 10 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 - 17x + 10 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя формулу квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = -17 \), \( c = 10 \).
Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169 \]
Теперь найдём корни:
\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm 13}{6} \]
Это даёт два решения:
\[ x_1 = \frac{30}{6} = 5, \quad x_2 = \frac{4}{6} \approx 0.67 \]
Шаг 3: Определение прироста и убывания
Теперь нужно проверить, есть ли минимум в этих точках. Для этого определим знак производной в интервалах, образованных найденными критическими точками \( x_1 \) и \( x_2 \).
Для \( x < 0.67 \), например \( x = 0 \): \[ y' = 3(0)^2 - 17(0) + 10 = 10 > 0 \] (функция возрастающая)
Для \( 0.67 < x < 5 \), например \( x = 1 \): \[ y' = 3(1)^2 - 17(1) + 10 = 3 - 17 + 10 = -4 < 0 \] (функция убывает)
Для \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \[ y' = 3(6)^2 - 17(6) + 10 = 108 - 102 + 10 = 16 > 0 \] (функция возрастающая)
Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x \approx 0.67 \) (или более точно \( \frac{4}{6} \)), так как производная меняет знак с положительного на отрицательный, и максимум в точке \( x = 5 \).
Шаг 4: Найти значение функции в точке минимума
Теперь подставим \( x = \frac{2}{3} \) в исходную функцию для нахождения соответствующего значения \( y \):
\[ y\left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 - 8.5 \left( \frac{2}{3} \right)^2 + 10 \left( \frac{2}{3} \right) - 13 \]
Вычисление ведётся далее, чтобы найти минимальное значение \( y \).
Следовательно, точка минимума функции \( y = x^3 - 8.5x^2 + 10x - 13 \) приблизительно составляет \( x \approx 0.67 \).
