•2. Решите неравенство, используя метод интервалов: (x +8) (x- 4) (x+ 1) >0.
Для решения неравенства \((x + 8)(x - 4)(x + 1) > 0\) с помощью метода интервалов, следуем следующим шагам:
- Найдем корни неравенства. Неравенство равно нулю, когда:
\[ (x + 8) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8 \\ (x - 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \\ (x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]
Таким образом, корни: \(x = -8\), \(x = -1\), \(x = 4\).
- Наносим корни на числовую ось и разбиваем ось на интервалы:
\[ (-\infty, -8), \; (-8, -1), \; (-1, 4), \; (4, +\infty) \]
- Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем их в неравенство, чтобы определить знак произведения на каждом интервале.
Для интервала \((- \infty, -8)\): выберем \(x = -9\) \[ (-9 + 8)(-9 - 4)(-9 + 1) = (-1)(-13)(-8) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{знак отрицательный} \]
Для интервала \((-8, -1)\): выберем \(x = -5\) \[ (-5 + 8)(-5 - 4)(-5 + 1) = (3)(-9)(-4) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{знак положительный} \]
Для интервала \((-1, 4)\): выберем \(x = 0\) \[ (0 + 8)(0 - 4)(0 + 1) = (8)(-4)(1) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{знак отрицательный} \]
Для интервала \((4, +\infty)\): выберем \(x = 5\) \[ (5 + 8)(5 - 4)(5 + 1) = (13)(1)(6) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{знак положительный} \]
- Соберем результаты:
- На интервале \((- \infty, -8)\): отрицательный
- На интервале \((-8, -1)\): положительный
- На интервале \((-1, 4)\): отрицательный
- На интервале \((4, +\infty)\): положительный
- Записываем результат. Неравенство неравномерно больше нуля в интервалах \((-8, -1)\) и \((4, +\infty)\).
Итак, решение неравенства:
\[ x \in (-8, -1) \cup (4, +\infty) \]
Таким образом, \((x + 8)(x - 4)(x + 1) > 0\) для \(x\) из указанных интервалов.
