Для доказательства равенства (\overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b}), где (a) и (b) - комплексные числа, воспользуемся определением комплексного числа и свойствами сопряжения.
Пусть (a = x + iy) и (b = u + iv), где (x, y, u, v) - действительные числа, а (i) - мнимая единица, удовлетворяющая условию (i^2 = -1).
Тогда произведение (ab) будет равно:
[
ab = (x + iy)(u + iv) = xu + x(iv) + (iy)u + (iy)(iv)
]
Теперь раскроем скобки:
[
ab = xu + x(iv) + (iy)u + (iy)(iv) = xu + xiv + iyu - yv
]
Сгруппируем действительную и мнимую части:
[
ab = (xu - yv) + i(xv + yu)
]
Теперь найдем сопряженное число (\overline{ab}):
[
\overline{ab} = \overline{(xu - yv) + i(xv + yu)} = (xu - yv) - i(xv + yu)
]
Теперь вычислим произведение (\overline{a}) и (\overline{b}):
[
\overline{a} = x - iy
]
[
\overline{b} = u - iv
]
Теперь вычислим произведение (\overline{a} \cdot \overline{b}):
[
\overline{a} \cdot \overline{b} = (x - iy)(u - iv) = xu - x(iv) - iyu + (iy)(iv)
]
Раскроем скобки:
[
\overline{a} \cdot \overline{b} = xu - xiv - iyu - yv = (xu - yv) + i(-xv - yu)
]
Следовательно:
[
\overline{a} \cdot \overline{b} = (xu - yv) - i(xv + yu)
]
Теперь мы видим, что:
[
\overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b}
]
Таким образом, мы доказали, что:
[
\overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b}
]
Это завершающее доказательство.
