Для решения задачи о вероятности того, что из 5 наугад выбранных билетов 2 окажутся выигрышными, воспользуемся формулой для вычисления гипергеометрической вероятности.
Обозначим:
- ( N = 30 ) — общее количество билетов,
- ( K = 6 ) — количество выигрышных билетов,
- ( n = 5 ) — количество выбранных билетов,
- ( k = 2 ) — количество выигрышных билетов среди выбранных.
Вероятность ( P ) можно вычислить по формуле гипергеометрического распределения:
[
P = \frac{{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}}{{C(N, n)}}
]
где ( C(a, b) ) — это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать ( b ) элементов из ( a ) и рассчитывается по формуле:
[
C(a, b) = \frac{a!}{b!(a-b)!}
]
Теперь подставим значения в формулу:
Найдем ( C(K, k) = C(6, 2) ):
[
C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
]
Найдем ( C(N-K, n-k) = C(24, 3) ):
[
C(24, 3) = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2024
]
Найдем ( C(N, n) = C(30, 5) ):
[
C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 142506
]
Теперь подставим эти значения в формулу для вероятности:
[
P = \frac{{15 \cdot 2024}}{{142506}}
]
Посчитаем:
[
P = \frac{30360}{142506} \approx 0.2132
]
Итак, вероятность того, что из 5 наугад выбранных билетов 2 окажутся выигрышными, приблизительно равна ( 0.2132 ) или 21.32%.
