В лотерее из 30 билетов 6 выиграшных. Найти вероятность того, что из 5 наугад выбранный билетов два окажутся выиграшными.
Для решения задачи о вероятности того, что из 5 наугад выбранных билетов 2 окажутся выигрышными, воспользуемся формулой для вычисления гипергеометрической вероятности.
Обозначим:
- \( N = 30 \) — общее количество билетов,
- \( K = 6 \) — количество выигрышных билетов,
- \( n = 5 \) — количество выбранных билетов,
- \( k = 2 \) — количество выигрышных билетов среди выбранных.
Вероятность \( P \) можно вычислить по формуле гипергеометрического распределения:
\[ P = \frac{{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}}{{C(N, n)}} \]
где \( C(a, b) \) — это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( b \) элементов из \( a \) и рассчитывается по формуле:
\[ C(a, b) = \frac{a!}{b!(a-b)!} \]
Теперь подставим значения в формулу:
Найдем \( C(K, k) = C(6, 2) \): \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
Найдем \( C(N-K, n-k) = C(24, 3) \): \[ C(24, 3) = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2024 \]
Найдем \( C(N, n) = C(30, 5) \): \[ C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 142506 \]
Теперь подставим эти значения в формулу для вероятности:
\[ P = \frac{{15 \cdot 2024}}{{142506}} \]
Посчитаем:
\[ P = \frac{30360}{142506} \approx 0.2132 \]
Итак, вероятность того, что из 5 наугад выбранных билетов 2 окажутся выигрышными, приблизительно равна \( 0.2132 \) или 21.32%.
