На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АM : AB = 3 : 7 и AN : AC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 18.

Для решения задачи воспользуемся соотношением площадей треугольников с одинаковой высотой. Пусть S — площадь треугольника ABC. Тогда площадь треугольника AMN будет пропорциональна площади треугольника ABC в зависимости от отношения длин отрезков AM и AB, а также AN и AC. Дано: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{3}{7} \implies \frac{AB}{AM} = \frac{7}{3} \] и \[ \frac{AN}{AC} = \frac{3}{5} \implies \frac{AC}{AN} = \frac{5}{3}. \] Площадь треугольника AMN можно выразить через площадь S треугольника ABC: \[ S_{AMN} = S \cdot \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = S \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = S \cdot \frac{9}{35}. \] Согласно условию, площадь AMN равна 18: \[ S \cdot \frac{9}{35} = 18. \] Теперь решим это уравнение для S: \[ S = 18 \cdot \frac{35}{9} = 70. \] Таким образом, площадь треугольника ABC равна 70.