Дан равносторонний треугольник АВС со стороной АВ = 2, АМ его медиана. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АМ.

Для того чтобы найти скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\), нам нужно сначала определить координаты точек \(A\), \(B\) и \(M\).

Пусть \(A\) будет в начале координат, т.е. \(A(0, 0)\), точка \(B\) будет находиться на координате \((2, 0)\), так как длина стороны \(AB = 2\). Для точки \(C\) мы можем определить координаты, зная, что треугольник равносторонний. Координаты точки \(C\) имеют вид:

\[ C\left(1, \sqrt{3}\right), \]

поскольку высота (из точки \(C\) к основанию \(AB\)) равна \(\sqrt{3}\).

Теперь найдем точку \(M\) — середину отрезка \(AB\):

\[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(1, 0). \]

Теперь определим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\):

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0), \] \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0). \]

Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = (2, 0) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\) равно \(2\).