Для того чтобы найти скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AM}), нам нужно сначала определить координаты точек (A), (B) и (M).
Пусть (A) будет в начале координат, т.е. (A(0, 0)), точка (B) будет находиться на координате ((2, 0)), так как длина стороны (AB = 2). Для точки (C) мы можем определить координаты, зная, что треугольник равносторонний. Координаты точки (C) имеют вид:
[
C\left(1, \sqrt{3}\right),
]
поскольку высота (из точки (C) к основанию (AB)) равна (\sqrt{3}).
Теперь найдем точку (M) — середину отрезка (AB):
[
M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M(1, 0).
]
Теперь определим векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AM}):
[
\overrightarrow{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0),
]
[
\overrightarrow{AM} = M - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0).
]
Теперь найдем скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AM}):
[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = (2, 0) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2.
]
Таким образом, скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AM}) равно (2).
