Для решения задачи используем соотношение площадей треугольников.
Пусть ( S ) — площадь треугольника ( ABC ). Тогда площадь треугольника ( AMN ) выражается в виде:
[
S_{AMN} = k \cdot S,
]
где ( k ) — коэффициент пропорциональности, который зависит от отношения сторон в треугольнике.
Сначала найдем длины сторон, связанные с точками ( M ) и ( N ).
Из условия ( AM : AB = 3 : 7 ) можно выразить ( AM ) и ( MB ):
[
AM = \frac{3}{7} AB, \quad MB = \frac{4}{7} AB.
]
Аналогично, из ( AN : AC = 3 : 5 ) получаем:
[
AN = \frac{3}{5} AC, \quad NC = \frac{2}{5} AC.
]
Теперь мы можем найти коэффициент ( k ):
[
k = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}.
]
Таким образом, площадь треугольника ( AMN ) составляет:
[
S_{AMN} = k \cdot S = \frac{9}{35} S.
]
Площадь ( S_{AMN} ) известна и равна 18, потому что:
[
\frac{9}{35} S = 18.
]
Теперь откуда можем выразить площадь треугольника ( ABC ):
[
S = 18 \cdot \frac{35}{9} = 70.
]
Следовательно, площадь треугольника ( ABC ) равна:
[
\boxed{70}.
]
