На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ : AB = 3:7 и AN : AC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь…

Для решения задачи используем соотношение площадей треугольников.

Пусть \( S \) — площадь треугольника \( ABC \). Тогда площадь треугольника \( AMN \) выражается в виде: \[ S_{AMN} = k \cdot S, \] где \( k \) — коэффициент пропорциональности, который зависит от отношения сторон в треугольнике.

Сначала найдем длины сторон, связанные с точками \( M \) и \( N \).

Из условия \( AM : AB = 3 : 7 \) можно выразить \( AM \) и \( MB \): \[ AM = \frac{3}{7} AB, \quad MB = \frac{4}{7} AB. \]

Аналогично, из \( AN : AC = 3 : 5 \) получаем: \[ AN = \frac{3}{5} AC, \quad NC = \frac{2}{5} AC. \]

Теперь мы можем найти коэффициент \( k \): \[ k = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}. \]

Таким образом, площадь треугольника \( AMN \) составляет: \[ S_{AMN} = k \cdot S = \frac{9}{35} S. \]

Площадь \( S_{AMN} \) известна и равна 18, потому что: \[ \frac{9}{35} S = 18. \]

Теперь откуда можем выразить площадь треугольника \( ABC \): \[ S = 18 \cdot \frac{35}{9} = 70. \]

Следовательно, площадь треугольника \( ABC \) равна: \[ \boxed{70}. \]