На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ : AB = 3:7 и AN : AC = 3 : 5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобия треугольников и соотношением площадей. 1. Обозначим площадь треугольника \( ABC \) как \( S \). Площадь треугольника \( AMN \) можно выразить через площадь треугольника \( ABC \) и соотношения отрезков. 2. По условию задачи, \( AM : AB = 3 : 7 \) и \( AN : AC = 3 : 5 \). Это значит, что \( AM = \frac{3}{7} AB \) и \( AN = \frac{3}{5} AC \). 3. Рассмотрим дробь, которая будет равна площади треугольника \( AMN \) к площади треугольника \( ABC \): \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \left(\frac{3}{7}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{9}{35}. \] 4. Из этого соотношения мы можем выразить площадь треугольника \( ABC \): \[ S_{ABC} = \frac{S_{AMN} \cdot 35}{9}. \] 5. Подставляем значение площади треугольника \( AMN \): \[ S_{ABC} = \frac{18 \cdot 35}{9} = 2 \cdot 35 = 70. \] Таким образом, площадь треугольника \( ABC \) равна \( 70 \).