В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 4/6. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике АВС мы знаем углы \( \angle A = 45^\circ\) и \( \angle B = 60^\circ\). Чтобы найти угол \( \angle C\), будем использовать, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ\):

\[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

Теперь применим закон синусов, который утверждает, что отношение длины стороны к синусу противоположного угла в треугольнике всегда одинаково:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где

• \(a\) — длина стороны \(BC\),
• \(b\) — длина стороны \(AC\),
• \(c\) — длина стороны \(AB\).

Дано \(BC = 4/6 = 2/3\).

Теперь подставим данные в закон синусов:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{2/3}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} \]

Значения синусов:

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Подставим эти значения:

\[ \frac{2/3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим левую часть:

\[ \frac{2/3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь у нас есть равенство:

\[ \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Для определения длины стороны \(AC\), произведем расчеты:

\[ AC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Таким образом, длина стороны \(AC\) равна \( \frac{\sqrt{6}}{3} \).