В треугольнике АВС мы знаем углы ( \angle A = 45^\circ) и ( \angle B = 60^\circ). Чтобы найти угол ( \angle C), будем использовать, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ):
[
\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
]
Теперь применим закон синусов, который утверждает, что отношение длины стороны к синусу противоположного угла в треугольнике всегда одинаково:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Где
- (a) — длина стороны (BC),
- (b) — длина стороны (AC),
- (c) — длина стороны (AB).
Дано (BC = 4/6 = 2/3).
Теперь подставим данные в закон синусов:
[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{2/3}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}
]
Значения синусов:
[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Подставим эти значения:
[
\frac{2/3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Упростим левую часть:
[
\frac{2/3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
]
Теперь у нас есть равенство:
[
\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Для определения длины стороны (AC), произведем расчеты:
[
AC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}
]
Таким образом, длина стороны (AC) равна ( \frac{\sqrt{6}}{3} ).
