В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60 градусам, второй острый угол равен 30 градусам (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а третий угол равен 90 градусам).
Обозначим:
- ( a ) — меньший катет (противолежащий углу 30°)
- ( b ) — больший катет (противолежащий углу 60°)
- ( c ) — гипотенуза
Согласно свойству треугольника с углом 30° и 60°, можно записать:
- ( a = c \cdot \sin(30°) = \frac{c}{2} )
- ( b = c \cdot \sin(60°) = \frac{c \sqrt{3}}{2} )
По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 16 см:
[
c + a = 16
]
Подставим значение меньшего катета:
[
c + \frac{c}{2} = 16
]
Объединим подобные:
[
\frac{3c}{2} = 16
]
Умножим обе стороны на ( \frac{2}{3} ):
[
c = \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.67 , \text{см}
]
Теперь найдем меньший катет ( a ):
[
a = \frac{c}{2} = \frac{32/3}{2} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \approx 5.33 , \text{см}
]
Итак, гипотенуза ( c \approx 10.67 , \text{см} ) и меньший катет ( a \approx 5.33 , \text{см} ).
