один из углов прямоугольного треугольника 60 градусов , а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 16 см , найти гипотезу и меньшей катет

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60 градусам, второй острый угол равен 30 градусам (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а третий угол равен 90 градусам).

Обозначим:

• \( a \) — меньший катет (противолежащий углу 30°)
• \( b \) — больший катет (противолежащий углу 60°)
• \( c \) — гипотенуза

Согласно свойству треугольника с углом 30° и 60°, можно записать:

1. \( a = c \cdot \sin(30°) = \frac{c}{2} \)
2. \( b = c \cdot \sin(60°) = \frac{c \sqrt{3}}{2} \)

По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 16 см:

\[ c + a = 16 \]

Подставим значение меньшего катета:

\[ c + \frac{c}{2} = 16 \]

Объединим подобные:

\[ \frac{3c}{2} = 16 \]

Умножим обе стороны на \( \frac{2}{3} \):

\[ c = \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{32}{3} \approx 10.67 \, \text{см} \]

Теперь найдем меньший катет \( a \):

\[ a = \frac{c}{2} = \frac{32/3}{2} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \approx 5.33 \, \text{см} \]

Итак, гипотенуза \( c \approx 10.67 \, \text{см} \) и меньший катет \( a \approx 5.33 \, \text{см} \).