Чтобы решить задачу, сначала определим события и их вероятности. У нас есть 4 белых шара и 2 черных шара в ящике. Итак, всего у нас 6 шаров.
Вероятности:
- Вероятность вытянуть белый шар (B) = 4/6 = 2/3
- Вероятность вытянуть черный шар (C) = 2/6 = 1/3
Саша будет тянуть шары до тех пор, пока не вытянет черный. Мы хотим найти вероятность того, что он вытащит черный шар с третьей попытки.
Чтобы это произошло, необходимо, чтобы в первых двух попытках он вытянул белые шары, а в третьей — черный шар. Вероятности для этого будут следующими:
- Первая попытка — белый шар: (P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3})
- Вторая попытка — белый шар: (P(B) = \frac{4}{5}) (после того как был вытянут один белый шар осталось 5 шаров, из которых 3 белых)
- Третья попытка — черный шар: (P(C) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}) (после того как было вытянуто два белых шара осталось 4 шара, из которых 2 черных)
Теперь найдем полную вероятность события:
[
P(B) \cdot P(B) \cdot P(C) = \left(\frac{4}{6}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{2}{4}\right)
]
Посчитаем:
[
P = \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{15}
]
Таким образом, вероятность того, что Саша вытянет черный шар с третьей попытки составляет (\frac{4}{15}).
Теперь нарисуем дерево вероятностей:
Start
/ \
B B
/ \
B B
/ \ / \
C/ C C C
/ \ / \
(B,B,C) (B,B,C) (B,C) (B,C)
На дереве каждый уровень соответствует одной попытке извлечения шара. Ветви показывают возможные исходы: B – белый шар, C – черный шар. Реальные события, которые нас интересуют, отмечены в крайних узлах в левом столбце.
