Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города…

Для решения данной задачи будем использовать комбинаторный подход.

Имеем 20 сбербанков, из которых 10 расположены за чертой города и 10 — в черте города. Обозначим:

• \( N = 20 \) — общее количество сбербанков,
• \( k = 5 \) — количество отбираемых сбербанков,
• \( n_1 = 10 \) — количество сбербанков в черте города,
• \( n_2 = 10 \) — количество сбербанков за чертой города.

Мы будем использовать формулу для вероятности:

\[ P(A) = \frac{C(m, k) \cdot C(n - m, k - n)}{C(n, k)} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

а) Вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города.

Пусть \( X \) — количество сбербанков в черте города среди отобранных. Мы ищем \( P(X = 3) \).

Значит, должно быть 3 сбербанка в черте города и 2 сбербанка за чертой города.

Вычисляем вероятность:

\[ P(X = 3) = \frac{C(10, 3) \cdot C(10, 2)}{C(20, 5)} \]

Вычислим по отдельности:

• \( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \)
• \( C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \)
• \( C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504 \)

Теперь подставим в формулу:

\[ P(X = 3) = \frac{120 \cdot 45}{15504} = \frac{5400}{15504} \approx 0.3487 \]

б) Вероятность того, что среди отобранных окажется хотя бы один сбербанк в черте города.

Для того чтобы найти вероятность того, что хотя бы один сбербанк в черте города, можно воспользоваться комплементарным событием. Сначала найдем вероятность того, что ни одного сбербанка из черты города не окажется в отборе.

Вероятность того, что все 5 сбербанков будут за чертой города:

\[ P(X = 0) = \frac{C(10, 0) \cdot C(10, 5)}{C(20, 5)} \]

Где:

• \( C(10, 0) = 1 \)
• \( C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 \)

Подставим в формулу:

\[ P(X = 0) = \frac{1 \cdot 252}{15504} = \frac{252}{15504} \approx 0.0163 \]

Теперь найдем вероятность хотя бы одного сбербанка в черте города:

\[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.0163 \approx 0.9837 \]

Ответы:

а) Вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города: \(\approx 0.3487\).

б) Вероятность того, что среди отобранных окажется хотя бы один сбербанк: \(\approx 0.9837\).