Для решения данной задачи будем использовать комбинаторный подход.
Имеем 20 сбербанков, из которых 10 расположены за чертой города и 10 — в черте города. Обозначим:
- ( N = 20 ) — общее количество сбербанков,
- ( k = 5 ) — количество отбираемых сбербанков,
- ( n_1 = 10 ) — количество сбербанков в черте города,
- ( n_2 = 10 ) — количество сбербанков за чертой города.
Мы будем использовать формулу для вероятности:
[
P(A) = \frac{C(m, k) \cdot C(n - m, k - n)}{C(n, k)}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), который вычисляется как ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
а) Вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города.
Пусть ( X ) — количество сбербанков в черте города среди отобранных. Мы ищем ( P(X = 3) ).
Значит, должно быть 3 сбербанка в черте города и 2 сбербанка за чертой города.
Вычисляем вероятность:
[
P(X = 3) = \frac{C(10, 3) \cdot C(10, 2)}{C(20, 5)}
]
Вычислим по отдельности:
- ( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 )
- ( C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 )
- ( C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504 )
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 3) = \frac{120 \cdot 45}{15504} = \frac{5400}{15504} \approx 0.3487
]
б) Вероятность того, что среди отобранных окажется хотя бы один сбербанк в черте города.
Для того чтобы найти вероятность того, что хотя бы один сбербанк в черте города, можно воспользоваться комплементарным событием. Сначала найдем вероятность того, что ни одного сбербанка из черты города не окажется в отборе.
Вероятность того, что все 5 сбербанков будут за чертой города:
[
P(X = 0) = \frac{C(10, 0) \cdot C(10, 5)}{C(20, 5)}
]
Где:
- ( C(10, 0) = 1 )
- ( C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = 252 )
Подставим в формулу:
[
P(X = 0) = \frac{1 \cdot 252}{15504} = \frac{252}{15504} \approx 0.0163
]
Теперь найдем вероятность хотя бы одного сбербанка в черте города:
[
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.0163 \approx 0.9837
]
Ответы:
а) Вероятность того, что среди отобранных окажется 3 сбербанка в черте города: (\approx 0.3487).
б) Вероятность того, что среди отобранных окажется хотя бы один сбербанк: (\approx 0.9837).
