Пользуясь определением предела доказать, что lim x-n ((√(2+9n2))/2n+1)= 3/2

Чтобы доказать, что \(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1} \right) = \frac{3}{2}\), воспользуемся определением предела. Мы хотим показать, что для любого \(\epsilon > 0\) существует такое \(N\), что для всех \(n > N\): \[ \left| \frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1} - \frac{3}{2} \right| < \epsilon. \] Начнём с упрощения выражения \(\frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1}\). 1. Разделим числитель и знаменатель на \(n\): \[ \frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1} = \frac{\sqrt{9 + \frac{2}{n^2}}}{2 + \frac{1}{n}}. \] 2. При \(n \to \infty\), \(\frac{2}{n^2} \to 0\) и \(\frac{1}{n} \to 0\), тогда: \[ \frac{\sqrt{9 + 0}}{2 + 0} = \frac{3}{2}. \] Теперь мы можем подойти к измерению предела более формально. Выразим разность: \[ \left| \frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{\sqrt{2 + 9n^2} - \frac{3}{2}(2n + 1)}{2n + 1} \right|. \] Упростим числитель: 3. Приведём к общему виду: \[ \sqrt{2 + 9n^2} - \frac{3}{2}(2n + 1) = \sqrt{2 + 9n^2} - (3n + \frac{3}{2}). \] 4. Объединив эти выражения, мы имеем: \[ \sqrt{2 + 9n^2} - 3n - \frac{3}{2}. \] 5. Для дальнейшего анализа удобно использовать метод умножения на сопряжённое выражение: \[ \sqrt{2 + 9n^2} - 3n = \frac{(2 + 9n^2) - (3n)^2}{\sqrt{2 + 9n^2} + 3n} = \frac{2 + 9n^2 - 9n^2}{\sqrt{2 + 9n^2} + 3n} = \frac{2}{\sqrt{2 + 9n^2} + 3n}. \] 6. Теперь подставляем обратно в выражение для предела: \[ \left| \frac{2}{\sqrt{2 + 9n^2} + 3n (2n + 1)} \right|. \] 7. Заметим, что как \(n\) становится очень большим, \(\sqrt{2 + 9n^2} \approx 3n\), тогда выражение стремится к: \[ \left| \frac{2}{6n} \right| = \frac{1}{3n}, \] что стремится к 0 при \(n \to \infty\). Теперь, для любого \(\epsilon > 0\), возьмем \(N\) такое, что \(n > \frac{1}{3\epsilon}\), тогда: \[ \left| \frac{2}{\sqrt{2 + 9n^2} + 3n} \right| < \epsilon. \] Таким образом, мы доказали, что \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{2 + 9n^2}}{2n + 1} \right) = \frac{3}{2}. \]