Для решения задачи сначала определим некоторые переменные.
Обозначим:
- ( v ) - скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
- Скорость лодки по течению будет равна ( v + 3 ) км/ч.
- Скорость плота по течению равна 3 км/ч.
Плот вышел из пункта А и через 2 часа проплыл 51 км. Мы можем использовать это для определения времени, прошедшего с момента его выхода. Скорость плота по течению составляет 3 км/ч, следовательно, время его движения можно выразить как:
[
t_{\text{плот}} = \frac{51}{3} = 17 \text{ часов}
]
Однако, плот выходил на 2 часа раньше, чем лодка, значит, лодка на момент своей отправки не успела пройти расстояние, которое проплыл плот. Теперь определим, сколько времени лодка провела в пути.
Плот плыл 17 часов, а лодка отправилась через 2 часа после плота, значит лодка плыла:
[
t_{\text{лодка}} = t_{\text{плот}} - 2 = 17 - 2 = 15 \text{ часов}
]
Теперь найдем, сколько времени требуется лодке, чтобы добраться до пункта В. Формулу для времени можно записать как:
[
t = \frac{108}{v + 3}
]
Время, за которое лодка успела добраться до пункта В, равно времени в пути, который она плыла:
[
\frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v + 3} = t_{\text{лодка}}
]
Обратите внимание, что когда лодка вернется в пункт А, она будет двигаться против течения. Время её обратного пути можно выразить как:
[
t_{\text{обратно}} = \frac{108}{v - 3}
]
Теперь нужно решить уравнение:
[
15 = \frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v - 3}
]
Для решения уравнения умножим обе стороны на ( (v + 3)(v - 3) ):
[
15(v + 3)(v - 3) = 108(v - 3) + 108(v + 3)
]
Раскрываем скобки:
[
15(v^2 - 9) = 108v - 324 + 108v + 324
]
Соберем все вместе:
[
15v^2 - 135 = 216v
]
Переносим все в одну сторону:
[
15v^2 - 216v - 135 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-216)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-135)
]
[
D = 46656 + 8100 = 54756
]
Корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{216 \pm \sqrt{54756}}{30}
]
[
\sqrt{54756} \approx 234
]
Теперь подставим в формулу:
[
v_1 = \frac{216 + 234}{30} \approx \frac{450}{30} = 15
]
[
v_2 = \frac{216 - 234}{30} \approx \frac{-18}{30} \text{ (отрицательное значение не подходит)}
]
Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде:
[
\boxed{15 \text{ км/ч}}
]
