Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В,…

Для решения задачи сначала определим некоторые переменные.

Обозначим:

• \( v \) - скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч).
• Скорость лодки по течению будет равна \( v + 3 \) км/ч.
• Скорость плота по течению равна 3 км/ч.

Плот вышел из пункта А и через 2 часа проплыл 51 км. Мы можем использовать это для определения времени, прошедшего с момента его выхода. Скорость плота по течению составляет 3 км/ч, следовательно, время его движения можно выразить как:

\[ t_{\text{плот}} = \frac{51}{3} = 17 \text{ часов} \]

Однако, плот выходил на 2 часа раньше, чем лодка, значит, лодка на момент своей отправки не успела пройти расстояние, которое проплыл плот. Теперь определим, сколько времени лодка провела в пути.

Плот плыл 17 часов, а лодка отправилась через 2 часа после плота, значит лодка плыла:

\[ t_{\text{лодка}} = t_{\text{плот}} - 2 = 17 - 2 = 15 \text{ часов} \]

Теперь найдем, сколько времени требуется лодке, чтобы добраться до пункта В. Формулу для времени можно записать как:

\[ t = \frac{108}{v + 3} \]

Время, за которое лодка успела добраться до пункта В, равно времени в пути, который она плыла:

\[ \frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v + 3} = t_{\text{лодка}} \]

Обратите внимание, что когда лодка вернется в пункт А, она будет двигаться против течения. Время её обратного пути можно выразить как:

\[ t_{\text{обратно}} = \frac{108}{v - 3} \]

Теперь нужно решить уравнение:

\[ 15 = \frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v - 3} \]

Для решения уравнения умножим обе стороны на \( (v + 3)(v - 3) \):

\[ 15(v + 3)(v - 3) = 108(v - 3) + 108(v + 3) \]

Раскрываем скобки:

\[ 15(v^2 - 9) = 108v - 324 + 108v + 324 \]

Соберем все вместе:

\[ 15v^2 - 135 = 216v \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 15v^2 - 216v - 135 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-216)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-135) \] \[ D = 46656 + 8100 = 54756 \]

Корни уравнения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{216 \pm \sqrt{54756}}{30} \] \[ \sqrt{54756} \approx 234 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ v_1 = \frac{216 + 234}{30} \approx \frac{450}{30} = 15 \] \[ v_2 = \frac{216 - 234}{30} \approx \frac{-18}{30} \text{ (отрицательное значение не подходит)} \]

Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде:

\[ \boxed{15 \text{ км/ч}} \]