Найти координаты центра и радиус окружности: a) x²+y²-6x+10y-15=0 6) 3x²+3y²-4x+9y+4=0

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, уравнение окружности нужно привести к стандартному виду \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус.

a) Уравнение:

\(x^2 + y^2 - 6x + 10y - 15 = 0\)

1. Сначала соберем все элементы в одной части: \[ x^2 - 6x + y^2 + 10y = 15 \]

2. Теперь выполним полный квадрат для \(x\) и \(y\).

   • Для \(x\): \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \]
   • Для \(y\): \[ y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25 \]

3. Подставляем обратно: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 = 15 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 34 = 15 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 49 \]

4. Теперь мы имеем уравнение окружности:

   • Центр: \((3, -5)\)
   • Радиус: \(r = \sqrt{49} = 7\)

6) Уравнение:

\(3x^2 + 3y^2 - 4x + 9y + 4 = 0\)

1. Разделим все на 3, чтобы упростить уравнение: \[ x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + 3y + \frac{4}{3} = 0 \]

2. Собираем все элементы в одной части: \[ x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + 3y = -\frac{4}{3} \]

3. Выполним полный квадрат для \(x\) и \(y\):

   • Для \(x\): \[ x^2 - \frac{4}{3}x = \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} \]
   • Для \(y\): \[ y^2 + 3y = (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]

4. Подставляем обратно: \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -\frac{4}{3} \]

5. Суммируя постоянные члены:

   • Приведем к общему знаменателю: \[ -\frac{4}{9} - \frac{9}{4} = -\frac{16}{36} - \frac{81}{36} = -\frac{97}{36} \] \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{4}{3} + \frac{97}{36} \]

6. Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю: \[ -\frac{4}{3} = -\frac{48}{36} \] \[ -\frac{48}{36} + \frac{97}{36} = \frac{49}{36} \] \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{49}{36} \]

7. Теперь мы имеем уравнение окружности:

   • Центр: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right)\)
   • Радиус: \(r = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}\)

Ответы:

a) Центр: \((3, -5)\), Радиус: \(7\)

6. Центр: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right)\), Радиус: \(\frac{7}{6}\)