Найти координаты центра и радиус окружности: a) x²+y²-6x+10y-15=0 6) 3x²+3y²-4x+9y+4=0

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, уравнение окружности нужно привести к стандартному виду \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) — координаты центра, а \(r\) — радиус. ### a) Уравнение: \(x^2 + y^2 - 6x + 10y - 15 = 0\) 1. **Сначала соберем все элементы в одной части:** \[ x^2 - 6x + y^2 + 10y = 15 \] 2. **Теперь выполним полный квадрат для \(x\) и \(y\).** - Для \(x\): \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \] - Для \(y\): \[ y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25 \] 3. **Подставляем обратно:** \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 5)^2 - 25 = 15 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 - 34 = 15 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 49 \] 4. **Теперь мы имеем уравнение окружности:** - Центр: \((3, -5)\) - Радиус: \(r = \sqrt{49} = 7\) ### 6) Уравнение: \(3x^2 + 3y^2 - 4x + 9y + 4 = 0\) 1. **Разделим все на 3, чтобы упростить уравнение:** \[ x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + 3y + \frac{4}{3} = 0 \] 2. **Собираем все элементы в одной части:** \[ x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + 3y = -\frac{4}{3} \] 3. **Выполним полный квадрат для \(x\) и \(y\):** - Для \(x\): \[ x^2 - \frac{4}{3}x = \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} \] - Для \(y\): \[ y^2 + 3y = (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \] 4. **Подставляем обратно:** \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{9} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -\frac{4}{3} \] 5. **Суммируя постоянные члены:** - Приведем к общему знаменателю: \[ -\frac{4}{9} - \frac{9}{4} = -\frac{16}{36} - \frac{81}{36} = -\frac{97}{36} \] \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{4}{3} + \frac{97}{36} \] 6. **Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю:** \[ -\frac{4}{3} = -\frac{48}{36} \] \[ -\frac{48}{36} + \frac{97}{36} = \frac{49}{36} \] \[ \left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{49}{36} \] 7. **Теперь мы имеем уравнение окружности:** - Центр: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right)\) - Радиус: \(r = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}\) ### Ответы: a) Центр: \((3, -5)\), Радиус: \(7\) 6) Центр: \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{3}{2}\right)\), Радиус: \(\frac{7}{6}\)