Вычислить площадь с помощью интеграла

Чтобы вычислить площадь под кривой \( y = 4x - x^2 - 3 \) между точками пересечения с осью \( x \), сначала нужно найти границы интегрирования, решив уравнение \( 4x - x^2 - 3 = 0 \).

Решим квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \]

Используя формулу квадратного уравнения, получаем:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = -1 \), \( b = 4 \), \( c = -3 \).

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \]

\[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \]

Получаем корни:

\[ x_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \]

Теперь, чтобы найти площадь под кривой, интегрируем функцию от 1 до 3:

\[ \int_{1}^{3} (4x - x^2 - 3) \, dx \]

Решим интеграл:

\[ \int (4x - x^2 - 3) \, dx = \int 4x \, dx - \int x^2 \, dx - \int 3 \, dx \]

Это будет равно:

\[ = 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x + C \]

Теперь находим определённый интеграл:

\[ \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{1}^{3} \]

Вычислим:

Для \( x = 3 \):

\[ 2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3} - 3(3) = 18 - 9 - 9 = 0 \]

Для \( x = 1 \):

\[ 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - 3(1) = 2 - \frac{1}{3} - 3 = -\frac{7}{3} \]

Вычисляем разность:

\[ 0 - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{7}{3} \]

Таким образом, площадь равна \(\frac{7}{3}\).