Чтобы вычислить площадь под кривой ( y = 4x - x^2 - 3 ) между точками пересечения с осью ( x ), сначала нужно найти границы интегрирования, решив уравнение ( 4x - x^2 - 3 = 0 ).
Решим квадратное уравнение:
[ -x^2 + 4x - 3 = 0 ]
Используя формулу квадратного уравнения, получаем:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = -1 ), ( b = 4 ), ( c = -3 ).
[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} ]
[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} ]
Получаем корни:
[ x_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 ]
[ x_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 ]
Теперь, чтобы найти площадь под кривой, интегрируем функцию от 1 до 3:
[ \int_{1}^{3} (4x - x^2 - 3) , dx ]
Решим интеграл:
[ \int (4x - x^2 - 3) , dx = \int 4x , dx - \int x^2 , dx - \int 3 , dx ]
Это будет равно:
[ = 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x + C ]
Теперь находим определённый интеграл:
[ \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_{1}^{3} ]
Вычислим:
Для ( x = 3 ):
[ 2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3} - 3(3) = 18 - 9 - 9 = 0 ]
Для ( x = 1 ):
[ 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - 3(1) = 2 - \frac{1}{3} - 3 = -\frac{7}{3} ]
Вычисляем разность:
[ 0 - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{7}{3} ]
Таким образом, площадь равна (\frac{7}{3}).
