. 4. Найдите все значения параметра а, при которых ни 21 и 22 уравнения x ^ 2 - (a + 2) * x - (a + 5) удовлетворяют условию x_{1} ^ 2 + x_{2} ^ 2 = 9 .

Чтобы найти значения параметра \( a \), при которых уравнение \( x^2 - (a + 2)x - (a + 5) = 0 \) не имеет решений, удовлетворяющих условию \( x_1^2 + x_2^2 = 9 \), начнем с того, что нам необходимо использовать формулы для корней квадратного уравнения.

Для уравнения \( x^2 + bx + c = 0 \), сумм и произведение корней задаются следующими формулами:

• Сумма корней \( x_1 + x_2 = -b \)
• Произведение корней \( x_1 x_2 = c \)

В нашем случае:

• Сумма корней \( x_1 + x_2 = a + 2 \)
• Произведение корней \( x_1 x_2 = -(a + 5) \)

Согласно условию, требуется, чтобы выполнялось следующее равенство: \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 \] Смысл этого равенства можно выразить через сумму и произведение корней: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Подставим наши значения: \[ x_1^2 + x_2^2 = (a + 2)^2 + 2(a + 5) \]

Тогда равенство будет выглядеть так: \[ (a + 2)^2 - 2(- (a + 5)) = 9 \] Упростим это уравнение: \[ (a + 2)^2 + 2(a + 5) = 9 \] Раскроем скобки: \[ (a^2 + 4a + 4) + (2a + 10) = 9 \] Соберем все вместе: \[ a^2 + 6a + 14 - 9 = 0 \] Упрощаем до: \[ a^2 + 6a + 5 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \] Корни уравнения находим по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4}{2} \] Тогда: \[ a_1 = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ a_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]

Таким образом, уравнение \( x^2 - (a + 2)x - (a + 5) \) не имеет решений с \( x_1^2 + x_2^2 = 9 \) для значений \( a = -1 \) и \( a = -5 \).