Для решения задачи нужно использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа. Начнем с того, что парциальное давление смеси газов можно найти, используя уравнение состояния для каждого газа.
Дано:
- Объем ( V = 3 , \text{м}^3 )
- Масса азота ( m_N = 1.4 , \text{кг} )
- Масса гелия ( m_He = 2 , \text{кг} )
- Парциальное давление азота ( P_N = 1.3 \times 10^5 , \text{Па} )
Сначала найдем количество вещества (моли) этих газов, используя их молярные массы:
- Молярная масса азота ( M_N \approx 28 , \text{г/моль} = 0.028 , \text{кг/моль} )
- Молярная масса гелия ( M_{He} \approx 4 , \text{г/моль} = 0.004 , \text{кг/моль} )
Количество вещества азота (в молях):
[
n_N = \frac{m_N}{M_N} = \frac{1.4 , \text{кг}}{0.028 , \text{кг/моль}} \approx 50 , \text{моль}
]
Количество вещества гелия (в молях):
[
n_{He} = \frac{m_{He}}{M_{He}} = \frac{2 , \text{кг}}{0.004 , \text{кг/моль}} = 500 , \text{моль}
]
Теперь найдем общее количество вещества в смеси:
[
n_{total} = n_N + n_{He} = 50 + 500 = 550 , \text{моль}
]
Согласно уравнению состояния идеального газа:
[
P V = n R T
]
где:
- ( P ) — общее давление смеси
- ( V ) — объем
- ( n ) — общее количество вещества
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.314 , \text{Дж/(моль·К)} ))
- ( T ) — температура в Кельвинах
Температура газа можно найти через парциальное давление азота:
[
P_N V = n_N R T
]
Отсюда
[
T = \frac{P_N V}{n_N R} = \frac{(1.3 \times 10^5 , \text{Па}) \cdot (3 , \text{м}^3)}{50 , \text{моль} \cdot 8.314 , \text{Дж/(моль·К)}}
]
Теперь вычислим температуру:
[
T = \frac{3.9 \times 10^5}{415.7} \approx 939 , \text{К}
]
Теперь найдем парциальное давление гелия. Оно вычисляется по аналогичной формуле для гелия:
[
P_{He} = \frac{n_{He} R T}{V}
]
Подставим все известные значения:
[
P_{He} = \frac{500 , \text{моль} \cdot 8.314 , \text{Дж/(моль·К)} \cdot 939 , \text{К}}{3 , \text{м}^3}
]
Вычислим:
[
P_{He} \approx \frac{(500 \cdot 8.314 \cdot 939)}{3} \approx \frac{2.54 \times 10^6}{3} \approx 846667 , \text{Па} = 8.47 \times 10^5 , \text{Па}
]
Таким образом, температура газовой смеси составляет около 939 К, а парциальное давление гелия — около ( 8.47 \times 10^5 , \text{Па} ).
