А) Решите уравнение: cos⁡2x+sin⁡(π/2+x)+1=0. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-5π/2;-π].

(a) Начнем с решения уравнения: \[ \cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0. \] Используем тригонометрические тождества. Для \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\) можем написать: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x). \] Таким образом, мы можем переписать уравнение как: \[ \cos(2x) + \cos(x) + 1 = 0. \] Используем формулу приведения для \(\cos(2x)\) — ее можно выразить через \(\cos(x)\): \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1. \] Подставим это в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) + 1 = 0. \] Сокращаем уравнение: \[ 2\cos^2(x) + \cos(x) = 0. \] Таким образом, можно вынести общий множитель: \[ \cos(x)(2\cos(x) + 1) = 0. \] Теперь решим два уравнения: 1. \(\cos(x) = 0\) 2. \(2\cos(x) + 1 = 0\) Решение первого уравнения: \[ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Решение второго уравнения: \[ 2\cos(x) = -1 \implies \cos(x) = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ или } x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] (b) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([-5\pi/2; -\pi]\). 1. Для первого уравнения \(\cos(x) = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi. \] Найдём значения \(k\) такие, чтобы \(-5\pi/2 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq -\pi\). Посмотрим на \(k = -3\): \[ x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}. \] Для \(k = -2\): \[ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}. \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}. \] Таким образом, получаем три корня: \(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\). 2. Для второго уравнения \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\): Находим значения \(x\): \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ и } x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi. \] Сначала для \(\frac{2\pi}{3}\): Для \(k = -2\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}. \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}. \] Теперь для \(k = -2\): Для \(\frac{4\pi}{3}\): \[ x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} \text{ (не входит в интервал)}. \] Для \(k = -1\): \[ x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}. \] Таким образом, все корни, которые находятся в интервале \([-5\pi/2; -\pi]\), это: \[ -\frac{5\pi}{2}, \quad -\frac{3\pi}{2}, \quad -\frac{\pi}{2}, \quad -\frac{4\pi}{3}, \quad -\frac{2\pi}{3}. \] Итак, искомые корни: \(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}\).