а) Решите уравнение: cos2x+sin(π/2+x)+1=0. б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-5π/2;-π].
(a) Начнем с решения уравнения:
\[ \cos(2x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0. \]
Используем тригонометрические тождества. Для \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\) можем написать:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x). \]
Таким образом, мы можем переписать уравнение как:
\[ \cos(2x) + \cos(x) + 1 = 0. \]
Используем формулу приведения для \(\cos(2x)\) — ее можно выразить через \(\cos(x)\):
\[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1. \]
Подставим это в уравнение:
\[ 2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) + 1 = 0. \]
Сокращаем уравнение:
\[ 2\cos^2(x) + \cos(x) = 0. \]
Таким образом, можно вынести общий множитель:
\[ \cos(x)(2\cos(x) + 1) = 0. \]
Теперь решим два уравнения:
- \(\cos(x) = 0\)
- \(2\cos(x) + 1 = 0\)
Решение первого уравнения:
\[ \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Решение второго уравнения:
\[ 2\cos(x) = -1 \implies \cos(x) = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ или } x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
(b) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([-5\pi/2; -\pi]\).
- Для первого уравнения \(\cos(x) = 0\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi. \] Найдём значения \(k\) такие, чтобы \(-5\pi/2 \leq \frac{\pi}{2} + k\pi \leq -\pi\).
Посмотрим на \(k = -3\):
\[ x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}. \]
Для \(k = -2\):
\[ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}. \]
Для \(k = -1\):
\[ x = \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}. \]
Таким образом, получаем три корня:
\(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\).
- Для второго уравнения \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\):
Находим значения \(x\):
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ и } x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi. \]
Сначала для \(\frac{2\pi}{3}\):
Для \(k = -2\):
\[ x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}. \]
Для \(k = -1\):
\[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}. \]
Теперь для \(k = -2\):
Для \(\frac{4\pi}{3}\):
\[ x = \frac{4\pi}{3} - 4\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} \text{ (не входит в интервал)}. \]
Для \(k = -1\):
\[ x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = \frac{4\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}. \]
Таким образом, все корни, которые находятся в интервале \([-5\pi/2; -\pi]\), это:
\[ -\frac{5\pi}{2}, \quad -\frac{3\pi}{2}, \quad -\frac{\pi}{2}, \quad -\frac{4\pi}{3}, \quad -\frac{2\pi}{3}. \]
Итак, искомые корни:
\(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}\).
