Для решения задачи найдем площади всех образовавшихся фигур в равнобедренной трапеции.
Обозначим:
- ( ABCD ) — равнобедренная трапеция, где ( AB ) — меньшее основание (4 см), ( CD ) — большее основание, ( BC ) и ( AD ) — боковые стороны (по 10 см), угол при основании ( A ) и ( B ) равен ( 30° ).
Шаг 1: Найдем высоту трапеции
В трапеции проведем высоту ( AH ) из вершины ( A ) к основанию ( BC ).
В прямоугольном треугольнике ( AHB ):
- Угол ( AHB ) равен ( 30° ).
- Сторона ( AB ) равна 4 см.
По определению синуса:
[
\sin AHB = \frac{AH}{AB} \implies AH = AB \cdot \sin(30°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2, \text{см}.
]
Шаг 2: Найдем длину большего основания ( CD )
Теперь рассмотрим треугольник ( ACD ) и попытаемся выразить его основание. Зная, что ( AD = 10 , \text{см} ), мы можем найти проекции ( AH ) и ( HD ) на сторону ( CD ).
В прямоугольном треугольнике ( AHD ):
- Угол ( AHD = 30° ).
- ( AD = 10 , \text{см} ).
По определению косинуса:
[
\cos AHD = \frac{AH}{AD} \implies HD = AD \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ,\text{см}.
]
Теперь учитываем проекции:
[
CD = AB + 2 \cdot HD = 4 + 2 \cdot 5\sqrt{3} = 4 + 10\sqrt{3} ,\text{см}.
]
Шаг 3: Найдем площадь трапеции
Площадь трапеции рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h,
]
где ( h ) — высота трапеции.
Подставляем значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot (4 + (4 + 10\sqrt{3})) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot (8 + 10\sqrt{3}) \cdot 2 = (8 + 10\sqrt{3}).
]
Ответ
- Площадь равнобедренной трапеции ( S = 8 + 10\sqrt{3} ) см².
Таким образом, есть три рассмотренных фигуры:
- Площадь трапеции ( S ).
- Площадь прямоугольного треугольника ( AHB ), который равен:
[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 , \text{см}².
]
- Площадь прямоугольного треугольника ( AHD ):
[
S_{AHD} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} , \text{см}².
]
Таким образом, все площади:
- Трапеция: ( 8 + 10\sqrt{3} ) см²,
- Треугольник ( AHB ): ( 4 ) см²,
- Треугольник ( AHD ): ( 5\sqrt{3} ) см².
