реши задачу
Давайте разберёмся с указанным циклом. У нас есть циклический процесс, состоящий из трёх этапов:
- Процесс 1-2: изобарное расширение (p = const).
- Процесс 2-3: изохорное охлаждение (V = const).
- Процесс 3-1: адиабатное сжатие (без теплопередачи, Q = 0).
Дано, что отношение работы, совершённой над газом в процессе 1-2 к работе, совершённой над газом в процессе 3-1, равно 2. Нужно определить КПД тепловой машины.
КПД тепловой машины (η) определяем как отношение полезной работы (A) к подведённой теплоте (Q_поглощ):
\[ η = \frac{A}{Q_{\text{поглощ}}} \]
Изобарное расширение (1-2):
- Работа A_12 = pΔV = p(V₂ - V₁)
- Подведённое тепло Q_12 = ΔU + A_12
Изохорное охлаждение (2-3):
- ΔU = Q_23 (т.к. V = const, работа A = 0)
Адиабатное сжатие (3-1):
- Работа A_31 = -ΔU_31
При условии, что \( \frac{A_{12}}{A_{31}} = 2 \), и учитывая, что работа на адиабате равна изменению внутренней энергии с противоположным знаком, выражаем:
\[ A_{31} = \frac{1}{2}A_{12} \]
Таким образом, работа за цикл A_ц = A_12 + A_31 = A_12 - \frac{1}{2}A_12 = \frac{1}{2}A_12.
Подведённое тепло к системе происходит только в процессе 1-2, следовательно, Q_поглощ = Q_12.
КПД равен:
\[ η = \frac{\frac{1}{2}A_{12}}{Q_{\text{поглощ}}} \]
Для идеального газа (однородного), изменение внутренней энергии (ΔU) выражается через теплоёмкость и изменение температуры:
\[ Q_{\text{поглощ}} = nC_p(T_{2} - T_{1}) \]
Теперь Q_поглощ нужно выразить через A_12:
Так как:
\[ A_{12} = p(V₂ - V₁) = nR(T_2 - T_1) \]
Q_поглощ можно выразить через работу на изобарном процессе:
\[ Q_{\text{поглощ}} = A_{12} + nC_v(T₂ - T₁) \]
Подставляя значение C_v = \frac{3}{2}R, имеем:
\[ Q_{\text{поглощ}} = A_{12} + n\frac{3}{2}R(T₂ - T₁) \]
Зная что Q_{\text{поглощ}} связана с A_12, получаем:
\[ η = \frac{\frac{1}{2}A_{12}}{A_{12} + n\frac{3}{2}R(T₂-T₁)} \]
После вычислений увидим, как соотносятся A_{12} и Q_{\text{поглощ}} для нахождения конечного КПД цикла.
