Решите через дискриминант

Чтобы решить квадратные уравнения через дискриминант, используем формулу:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Если \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Если \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{-b}{2a} \]

Если \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим каждое из уравнений:

А) \( x^2 - 2x + 4 = 0 \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = 4 \).

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 \]

Нет действительных корней.

Б) \( x^2 + 10x + 21 = 0 \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = 10 \), \( c = 21 \).

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]

Два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 4}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-10 + 4}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-10 - 4}{2} = -7 \]

В) \( x^2 - 11x + 24 = 0 \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = -11 \), \( c = 24 \).

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]

Два корня: \[ x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 5}{2} \]

\[ x_1 = \frac{11 + 5}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{11 - 5}{2} = 3 \]

Г) \( x^2 + 14x + 40 = 0 \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = 14 \), \( c = 40 \).

\[ D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 \]

Два корня: \[ x_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 6}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-14 + 6}{2} = -4 \]

\[ x_2 = \frac{-14 - 6}{2} = -10 \]

Д) \( x^2 - 9x - 22 = 0 \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = -22 \).

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 \]

Два корня: \[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 13}{2} \]

\[ x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2 \]