2. Найдите катеты прямо угольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь треугольника равна 60 м²

Для решения задачи, давайте обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \).

У нас есть две известные величины:

1. Сумма катетов: \[ a + b = 23 \]

2. Площадь треугольника: \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} a b = 60 \]

Из второго уравнения можно выразить произведение катетов следующим образом: \[ a b = 120 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a + b = 23 \)
2. \( a b = 120 \)

Мы можем решить эту систему, подставляя первое уравнение во второе. Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 23 - a \]

Подставим \( b \) во второе уравнение: \[ a(23 - a) = 120 \]

Раскроем скобки: \[ 23a - a^2 = 120 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ a^2 - 23a + 120 = 0 \]

Теперь решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49 \]

Корни уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 7}{2} \]

Это дает нам два случая:

1. \( a_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( a_2 = \frac{16}{2} = 8 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( b \):

• Если \( a = 15 \), то \( b = 23 - 15 = 8 \).
• Если \( a = 8 \), то \( b = 23 - 8 = 15 \).

Таким образом, катеты треугольника: \( a = 15 \) см и \( b = 8 \) см.