Для решения задачи, давайте обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ).
У нас есть две известные величины:
Сумма катетов:
[
a + b = 23
]
Площадь треугольника:
[
\text{Площадь} = \frac{1}{2} a b = 60
]
Из второго уравнения можно выразить произведение катетов следующим образом:
[
a b = 120
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a + b = 23 )
- ( a b = 120 )
Мы можем решить эту систему, подставляя первое уравнение во второе. Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = 23 - a
]
Подставим ( b ) во второе уравнение:
[
a(23 - a) = 120
]
Раскроем скобки:
[
23a - a^2 = 120
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
a^2 - 23a + 120 = 0
]
Теперь решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49
]
Корни уравнения находятся по формуле:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm 7}{2}
]
Это дает нам два случая:
- ( a_1 = \frac{30}{2} = 15 )
- ( a_2 = \frac{16}{2} = 8 )
Теперь найдем соответствующие значения ( b ):
- Если ( a = 15 ), то ( b = 23 - 15 = 8 ).
- Если ( a = 8 ), то ( b = 23 - 8 = 15 ).
Таким образом, катеты треугольника: ( a = 15 ) см и ( b = 8 ) см.
