Закреплённый пружинный пистолет стреляет вертикально вверх, в результате чего пуля поднимается на высоту Н = 100 м. Кинетическая энергия Ек пули на высоте h= 50 м равна 1 Дж. Чему…
Закреплённый пружинный пистолет стреляет вертикально вверх, в результате чего пуля поднимается на высоту Н = 100 м. Кинетическая энергия Ек пули на высоте h= 50 м равна 1 Дж. Чему равна деформация пружины перед выстрелом Д/, если жёсткость пружины k= 1600 Н/м? Трением и массой пружины пренебречь;
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Вся энергия, накопленная в пружине, будет затрачена на кинетическую энергию пули и потенциальную энергию в момент, когда пуля находится на высоте.
Прежде всего, запишем потенциальную энергию пули на высоте \( h = 50 \, \text{м} \):
\[ E_p = mgh \]
где \( m \) - масса пули, \( g \) - ускорение свободного падения (примерно \( 9.81 \, \text{м/с}^2 \)), \( h \) - высота.
Кроме того, кинетическая энергия пули на высоте \( h = 50 \, \text{м} \):
\[ E_k = 1 \, \text{Дж} \]
Энергия, которая затрачивается на подъем пули на высоту \( h = 50 \, \text{м} \), будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:
\[ E_{\text{total}} = E_k + E_p = 1 \, \text{Дж} + mgh \]
На высоте \( H = 100 \, \text{м} \), потенциальная энергия будет максимальной:
\[ E_p(H) = mgH \]
Энергия пружины, когда она сжата на деформацию \( \Delta x \):
\[ E_{\text{spring}} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \]
Теперь у нас есть два равенства:
На высоте 50 м: \[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 1 \, \text{Дж} + mgh \]
На высоте 100 м: \[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = mgH \]
Таким образом, у нас есть два уравнения через массу \( m \):
\[ m = \frac{E_{\text{total}} - 1}{g \cdot h} \] и \[ m = \frac{E_{\text{spring}}}{gH} \]
Теперь давайте выразим массу \( m \) и приравняем два уравнения.
Сначала подставим \( m \) из первого уравнения во второе:
\[ \frac{E_{\text{total}} - 1}{g \cdot h} = \frac{E_{\text{spring}}}{gH} \]
Сократим \( g \):
\[ \frac{E_{\text{total}} - 1}{h} = \frac{E_{\text{spring}}}{H} \]
Подставляя известные значения и решая для \( \Delta x \):
Подставим \( E_{\text{total}} \) (это максимальная энергия пружины при сжатии):
\[ \frac{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 - 1}{50} = \frac{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2}{100} \]
Умножим обе стороны на 100:
\[ 2 \left(\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 - 1\right) = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \]
Упрощаем:
\[ k (\Delta x)^2 - 200 = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \]
Теперь при помощи \( k = 1600 \, \text{Н/м} \):
\[ k (\Delta x)^2 - \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 200 \]
Соберем уравнение:
\[ \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 200 \]
Обозначив \( 1600/2 \):
\[ 800 (\Delta x)^2 = 200 \]
Разделим обе стороны на 800:
\[ (\Delta x)^2 = \frac{200}{800} = \frac{1}{4} \]
Теперь извлекаем корень:
\[ \Delta x = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 \, \text{м} \]
Таким образом, деформация пружины перед выстрелом составляет:
\[ \Delta x = 0.5 \, \text{м} \]
