Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Вся энергия, накопленная в пружине, будет затрачена на кинетическую энергию пули и потенциальную энергию в момент, когда пуля находится на высоте.
Прежде всего, запишем потенциальную энергию пули на высоте ( h = 50 , \text{м} ):
[
E_p = mgh
]
где ( m ) - масса пули, ( g ) - ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )), ( h ) - высота.
Кроме того, кинетическая энергия пули на высоте ( h = 50 , \text{м} ):
[
E_k = 1 , \text{Дж}
]
Энергия, которая затрачивается на подъем пули на высоту ( h = 50 , \text{м} ), будет равна сумме кинетической и потенциальной энергии:
[
E_{\text{total}} = E_k + E_p = 1 , \text{Дж} + mgh
]
На высоте ( H = 100 , \text{м} ), потенциальная энергия будет максимальной:
[
E_p(H) = mgH
]
Энергия пружины, когда она сжата на деформацию ( \Delta x ):
[
E_{\text{spring}} = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2
]
Теперь у нас есть два равенства:
На высоте 50 м:
[
\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 1 , \text{Дж} + mgh
]
На высоте 100 м:
[
\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = mgH
]
Таким образом, у нас есть два уравнения через массу ( m ):
[
m = \frac{E_{\text{total}} - 1}{g \cdot h}
]
и
[
m = \frac{E_{\text{spring}}}{gH}
]
Теперь давайте выразим массу ( m ) и приравняем два уравнения.
Сначала подставим ( m ) из первого уравнения во второе:
[
\frac{E_{\text{total}} - 1}{g \cdot h} = \frac{E_{\text{spring}}}{gH}
]
Сократим ( g ):
[
\frac{E_{\text{total}} - 1}{h} = \frac{E_{\text{spring}}}{H}
]
Подставляя известные значения и решая для ( \Delta x ):
Подставим ( E_{\text{total}} ) (это максимальная энергия пружины при сжатии):
[
\frac{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 - 1}{50} = \frac{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2}{100}
]
Умножим обе стороны на 100:
[
2 \left(\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 - 1\right) = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2
]
Упрощаем:
[
k (\Delta x)^2 - 200 = \frac{1}{2} k (\Delta x)^2
]
Теперь при помощи ( k = 1600 , \text{Н/м} ):
[
k (\Delta x)^2 - \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 200
]
Соберем уравнение:
[
\frac{1}{2} k (\Delta x)^2 = 200
]
Обозначив ( 1600/2 ):
[
800 (\Delta x)^2 = 200
]
Разделим обе стороны на 800:
[
(\Delta x)^2 = \frac{200}{800} = \frac{1}{4}
]
Теперь извлекаем корень:
[
\Delta x = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 , \text{м}
]
Таким образом, деформация пружины перед выстрелом составляет:
[
\Delta x = 0.5 , \text{м}
]
