В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 точка О - середина В1С1, Е середина АД. Докажите параллельность плоскостей ВВ1Е и ДД1О. Доказать через признак параллельности…

Чтобы доказать параллельность плоскостей \( B B_1 E \) и \( D D_1 O \) в прямоугольном параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), мы воспользуемся признаком параллельности плоскостей. Этот признак гласит, что если две плоскости имеют хотя бы две прямые, лежащие в каждой из плоскостей и параллельные друг другу, то эти плоскости параллельны.

1. Определим координаты вершин параллелепипеда. Пусть:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(a, 0, 0) \)
   • \( C(a, b, 0) \)
   • \( D(0, b, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, c) \)
   • \( B_1(a, 0, c) \)
   • \( C_1(a, b, c) \)
   • \( D_1(0, b, c) \)

2. Найдем координаты точек, интересующих нас:

   • \( O \) — середина \( B_1C_1 \): \[ O = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + b}{2}, \frac{c + c}{2} \right) = \left( a, \frac{b}{2}, c \right) \]
   • \( E \) — середина \( AD \): \[ E = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 0, \frac{b}{2}, 0 \right) \]

3. Определим векторы, лежащие в плоскости \( B B_1 E \):

   • Вектор \( \overrightarrow{BB_1} = B_1 - B = (a, 0, c) - (a, 0, 0) = (0, 0, c) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{BE} = E - B = \left( 0, \frac{b}{2}, 0 \right) - (a, 0, 0) = \left( -a, \frac{b}{2}, 0 \right) \)

4. Теперь найдем векторы, лежащие в плоскости \( D D_1 O \):

   • Вектор \( \overrightarrow{DD_1} = D_1 - D = (0, b, c) - (0, b, 0) = (0, 0, c) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{DO} = O - D = \left( a, \frac{b}{2}, c \right) - (0, b, 0) = \left( a, -\frac{b}{2}, c \right) \)

5. Обратите внимание, что векторы \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{DD_1} \) одинаковы: \[ \overrightarrow{BB_1} = (0, 0, c), \quad \overrightarrow{DD_1} = (0, 0, c) \]

6. Теперь нужно показать, что векторы \( \overrightarrow{BE} \) и \( \overrightarrow{DO} \) параллельны. Для этого мы должны проверить, является ли вектор \( \overrightarrow{BE} \) пропорциональным вектору \( \overrightarrow{DO} \): \[ \overrightarrow{BE} = (-a, \frac{b}{2}, 0), \quad \overrightarrow{DO} = (a, -\frac{b}{2}, c) \] Можно заметить, что если мы перемножим компоненты, то получим: \[ \overrightarrow{BE} = k \cdot \overrightarrow{DO} \] где \( k = -1 \) (например, перемножив \( a \) и \( -a \)).

Таким образом, мы имеем хотя бы две прямые \( BB_1 \) и \( DD_1 \), которые параллельны, а также векторы \( BE \) и \( DO \) также параллельны.

Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскости \( BB_1E \) и \( DD_1O \) являются параллельными. Вот и доказательство завершено.