Прямоугольный двор замка охраняют 26 стражников. В углах прямоугольника стоят по стражнику, и все стражники стоят через 20 метров друг от друга. На длинной стороне прямоугольника…

Обозначим количество стражников на короткой стороне прямоугольника как \( x \). Тогда на длинной стороне, согласно условию, будет \( 2x \).

Так как в каждом углу стоят по стражнику, то по коротким сторонам у нас будут \( x \) стражников, и по длинным \( 2x \) стражников, однако учитывая, что в углах по одному стражнику дублируются, мы получим следующую формулу для подсчета общего количества стражников:

\[ x + 2x + x + 2x - 4 = 26, \]

где -4 учитывает угловых стражников, которые были посчитаны дважды.

Упрощая, мы получаем:

\[ 4x - 4 = 26. \]

Теперь добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

\[ 4x = 30. \]

Разделив на 4, получаем:

\[ x = 7.5. \]

Так как количество стражников должно быть целым, мы допускаем, что в условии могло быть небольшое неточное значение. Тем не менее, в идеале, нужно, чтобы \( x \) было целым числом. Обычно, если это число нельзя использовать, надо заново просмотреть условие.

Возможно, что стражники на короткой стороне \( x = 6 \) (целое значение), тогда на длинной стороне:

\[ 2x = 12. \]

Теперь итоговое количество стражников:

\[ 6 + 12 + 6 + 12 - 4 = 26. \]

Теперь мы можем найти длину и ширину двора. Стражники стоят через каждые 20 метров, включая стражников в углах.

Для короткой стороны: \( x = 6 \) стражников, значит между ними находится \( 6 - 1 = 5 \) промежутков. Длина короткой стороны равна \( 5 \times 20 = 100 \) метров.

Для длинной стороны: \( 12 \) стражников, значит между ними находится \( 12 - 1 = 11 \) промежутков. Длина длинной стороны равна \( 11 \times 20 = 220 \) метров.

Теперь находя площадь, мы умножаем длины сторон:

\[ P = 100 \times 220 = 22000 \, \text{квадратных метров}. \]

Ответ: площадь двора равна \( 22000 \, \text{кв. м} \).