Реши

Для доказательства подобия треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle KBM \) используем признак угла-угла (AA):

1. У них общий угол \( \angle B \).
2. Углы \( \angle ACB \) и \( \angle BKM \) равны, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, \( \triangle ABC \sim \triangle KBM \).

Теперь воспользуемся свойствами подобия треугольников, чтобы найти длину \( KM \). В подобных треугольниках отношение соответствующих сторон равно:

\[ \frac{AB}{KB} = \frac{BC}{BM} = \frac{AC}{KM} \]

Длины сторон: \( AB = 52 \), \( AC = 36 \), \( BC = 24 \), \( KB = 12 \).

Из подобия: \[ \frac{AC}{KM} = \frac{AB}{KB} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{36}{KM} = \frac{52}{12} \]

Решим уравнение: \[ 36 \cdot 12 = 52 \cdot KM \] \[ 432 = 52 \cdot KM \] \[ KM = \frac{432}{52} \] \[ KM = \frac{108}{13} \]

Итак, \( KM = \frac{108}{13} \).