На описанной окружности квадрата АBCD выбрана точка Р. Оказалось, что PA PC = 24 и PB PD = 70. Найдите площадь квадрата ABCD.

Давайте обозначим стороны квадрата ABCD как \( a \). Поскольку окружность описана вокруг квадрата, ее радиус будет равен \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).

Для точки \( P \) на окружности справедливо отношение:

\[ PA \cdot PC + PB \cdot PD = R^2. \]

Из условия задачи мы знаем, что \( PA \cdot PC = 24 \) и \( PB \cdot PD = 70 \). Таким образом, подставим в уравнение:

\[ 24 + 70 = R^2. \] \[ R^2 = 94. \]

Теперь, вспомним, что радиус описанной окружности квадрата равен \( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \). Следовательно:

\[ R^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}. \]

Теперь подставим значение \( R^2 \):

\[ \frac{a^2}{2} = 94. \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ a^2 = 188. \]

Таким образом, площадь квадрата \( S = a^2 \) равна:

\[ S = 188. \]

Ответ: площадь квадрата \( ABCD \) равна \( 188 \).