Давайте обозначим стороны квадрата ABCD как ( a ). Поскольку окружность описана вокруг квадрата, ее радиус будет равен ( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} ).
Для точки ( P ) на окружности справедливо отношение:
[
PA \cdot PC + PB \cdot PD = R^2.
]
Из условия задачи мы знаем, что ( PA \cdot PC = 24 ) и ( PB \cdot PD = 70 ). Таким образом, подставим в уравнение:
[
24 + 70 = R^2.
]
[
R^2 = 94.
]
Теперь, вспомним, что радиус описанной окружности квадрата равен ( R = \frac{a \sqrt{2}}{2} ). Следовательно:
[
R^2 = \left( \frac{a \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}.
]
Теперь подставим значение ( R^2 ):
[
\frac{a^2}{2} = 94.
]
Умножим обе стороны на 2:
[
a^2 = 188.
]
Таким образом, площадь квадрата ( S = a^2 ) равна:
[
S = 188.
]
Ответ: площадь квадрата ( ABCD ) равна ( 188 ).
