Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a ), а разность прогрессии как ( d ).
Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d)
]
Согласно условию, для первых 18 членов:
[
S_{18} = \frac{18}{2} (2a + 17d) = 126
]
Упрощаем:
[
9 (2a + 17d) = 126
]
[
2a + 17d = 14 \quad \text{(1)}
]
Для первых 25 членов:
[
S_{25} = \frac{25}{2} (2a + 24d) = 350
]
Упрощаем:
[
25 (2a + 24d) = 700
]
[
2a + 24d = 28 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( 2a + 17d = 14 )
- ( 2a + 24d = 28 )
Вычтем первое уравнение из второго:
[
(2a + 24d) - (2a + 17d) = 28 - 14
]
[
7d = 14
]
[
d = 2
]
Теперь подставим значение ( d ) в одно из уравнений, например, в (1):
[
2a + 17 \cdot 2 = 14
]
[
2a + 34 = 14
]
[
2a = 14 - 34 = -20
]
[
a = -10
]
Теперь у нас есть первый член ( a = -10 ) и разность ( d = 2 ).
Общая формула для ( n )-го члена прогрессии:
[
a_n = a + (n-1)d = -10 + (n-1) \cdot 2 = -10 + 2n - 2 = 2n - 12
]
Чтобы найти количество положительных трехзначных чисел, решим неравенство:
[
2n - 12 > 0 \implies 2n > 12 \implies n > 6
]
И для трехзначных чисел:
[
2n - 12 < 1000 \implies 2n < 1012 \implies n < 506
]
Таким образом, целочисленные значения ( n ) находятся в диапазоне:
[
7 \leq n < 506
]
Количество натуральных чисел ( n ) можно найти следующим образом:
[
n = 505 - 7 + 1 = 499
]
Таким образом, количество положительных трехзначных чисел в данной арифметической прогрессии:
[
\boxed{499}
]
