Сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна 126 , 126, а сумма её первых двадцати пяти членов равна 350. 350. Сколько положительных трёхзначных чисел…

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \).

Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n - 1)d) \]

Согласно условию, для первых 18 членов: \[ S_{18} = \frac{18}{2} (2a + 17d) = 126 \] Упрощаем: \[ 9 (2a + 17d) = 126 \] \[ 2a + 17d = 14 \quad \text{(1)} \]

Для первых 25 членов: \[ S_{25} = \frac{25}{2} (2a + 24d) = 350 \] Упрощаем: \[ 25 (2a + 24d) = 700 \] \[ 2a + 24d = 28 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 2a + 17d = 14 \)
2. \( 2a + 24d = 28 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \[ (2a + 24d) - (2a + 17d) = 28 - 14 \] \[ 7d = 14 \] \[ d = 2 \]

Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1): \[ 2a + 17 \cdot 2 = 14 \] \[ 2a + 34 = 14 \] \[ 2a = 14 - 34 = -20 \] \[ a = -10 \]

Теперь у нас есть первый член \( a = -10 \) и разность \( d = 2 \).

Общая формула для \( n \)-го члена прогрессии: \[ a_n = a + (n-1)d = -10 + (n-1) \cdot 2 = -10 + 2n - 2 = 2n - 12 \]

Чтобы найти количество положительных трехзначных чисел, решим неравенство: \[ 2n - 12 > 0 \implies 2n > 12 \implies n > 6 \] И для трехзначных чисел: \[ 2n - 12 < 1000 \implies 2n < 1012 \implies n < 506 \]

Таким образом, целочисленные значения \( n \) находятся в диапазоне: \[ 7 \leq n < 506 \]

Количество натуральных чисел \( n \) можно найти следующим образом: \[ n = 505 - 7 + 1 = 499 \]

Таким образом, количество положительных трехзначных чисел в данной арифметической прогрессии: \[ \boxed{499} \]