найти общий интеграл дифференциального уравнения y'all=(2y-2) /(x+y-2)

Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения \( y' = \frac{2y - 2}{x + y - 2} \) можно воспользоваться методом разделения переменных или приведением уравнения к более простому виду.

Сначала перепишем уравнение в более удобной форме:

\[ y' = \frac{2(y - 1)}{x + (y - 2)} \]

Теперь обозначим \( y - 2 = v \), тогда \( y = v + 2 \) и \( y' = v' \).

Подставим это в уравнение:

\[ v' = \frac{2((v + 2) - 1)}{x + v} = \frac{2(v + 1)}{x + v} \]

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

\[ v' (x + v) = 2(v + 1) \]

Или:

\[ v' (x + v) - 2(v + 1) = 0 \]

Теперь разделим переменные:

\[ \frac{dv}{2(v + 1)} = \frac{dx}{x + v} \]

Теперь интегрируем обе стороны.

Левую часть интегрируем по \( v \):

\[ \int \frac{dv}{2(v + 1)} = \frac{1}{2} \ln |v + 1| + C_1 \]

Правую часть интегрируем, используя метод замены:

\[ \int \frac{dx}{x + v} = \ln |x + v| + C_2 \]

Приравняем интегралы:

\[ \frac{1}{2} \ln |v + 1| = \ln |x + v| + C \]

Где \( C = C_2 - C_1 \).

Теперь упростим уравнение и выразим его в удобной форме. Умножив обе стороны на 2, получаем:

\[ \ln |v + 1| = 2 \ln |x + v| + K \]

где \( K = 2C \).

Теперь возводим обе стороны в степень:

\[ |v + 1| = e^K |x + v|^2 \]

Необходимо вернуть \( v \) и \( y \) в исходное уравнение:

\[ |y - 1| = C' |x + (y - 2)|^2 \]

где \( C' = e^K \).

Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Так что, у нас есть:

\[ |y - 1| = C |x + y - 2|^2 \]

где \( C \) — произвольная константа.