Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения ( y' = \frac{2y - 2}{x + y - 2} ) можно воспользоваться методом разделения переменных или приведением уравнения к более простому виду.
Сначала перепишем уравнение в более удобной форме:
[
y' = \frac{2(y - 1)}{x + (y - 2)}
]
Теперь обозначим ( y - 2 = v ), тогда ( y = v + 2 ) и ( y' = v' ).
Подставим это в уравнение:
[
v' = \frac{2((v + 2) - 1)}{x + v} = \frac{2(v + 1)}{x + v}
]
Теперь мы можем переписать уравнение в виде:
[
v' (x + v) = 2(v + 1)
]
Или:
[
v' (x + v) - 2(v + 1) = 0
]
Теперь разделим переменные:
[
\frac{dv}{2(v + 1)} = \frac{dx}{x + v}
]
Теперь интегрируем обе стороны.
Левую часть интегрируем по ( v ):
[
\int \frac{dv}{2(v + 1)} = \frac{1}{2} \ln |v + 1| + C_1
]
Правую часть интегрируем, используя метод замены:
[
\int \frac{dx}{x + v} = \ln |x + v| + C_2
]
Приравняем интегралы:
[
\frac{1}{2} \ln |v + 1| = \ln |x + v| + C
]
Где ( C = C_2 - C_1 ).
Теперь упростим уравнение и выразим его в удобной форме. Умножив обе стороны на 2, получаем:
[
\ln |v + 1| = 2 \ln |x + v| + K
]
где ( K = 2C ).
Теперь возводим обе стороны в степень:
[
|v + 1| = e^K |x + v|^2
]
Необходимо вернуть ( v ) и ( y ) в исходное уравнение:
[
|y - 1| = C' |x + (y - 2)|^2
]
где ( C' = e^K ).
Это и есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Так что, у нас есть:
[
|y - 1| = C |x + y - 2|^2
]
где ( C ) — произвольная константа.
