найти общее решение дифференциального уравнения y''+y=2cos7x
Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка \( y'' + y = 2\cos(7x) \), необходимо решить однородное уравнение и найти частное решение для неоднородной части.
Сначала находим общее решение однородного уравнения: \[ y'' + y = 0 \] Характеристическое уравнение: \[ r^2 + 1 = 0 \] Корни этого уравнения: \[ r = i \quad \text{и} \quad r = -i \] Это означает, что общее решение однородного уравнения будет: \[ y_h = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) – произвольные постоянные.
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения: Для функции \( 2 \cos(7x) \) предлагается частное решение в виде: \[ y_p = A \cos(7x) + B \sin(7x) \] где \( A \) и \( B \) – постоянные, которые нужно определить.
Вычислим производные: \[ y_p' = -7A \sin(7x) + 7B \cos(7x) \] \[ y_p'' = -49A \cos(7x) - 49B \sin(7x) \]
Подставим \( y_p \) и его производные в уравнение: \[ y_p'' + y_p = -49A \cos(7x) - 49B \sin(7x) + A \cos(7x) + B \sin(7x) \] Объединив, получаем: \[ (-49A + A) \cos(7x) + (-49B + B) \sin(7x) = (-48A) \cos(7x) + (-48B) \sin(7x) \]
Теперь приравняем коэффициенты к \( 2 \cos(7x) \): \[ -48A = 2 \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{24} \] \[ -48B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0 \]
Таким образом, частное решение: \[ y_p = -\frac{1}{24} \cos(7x) \]
Общее решение дифференциального уравнения: Объединим однородное и частное решения: \[ y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) - \frac{1}{24} \cos(7x) \]
Это и будет общее решение данного дифференциального уравнения.
