Найти общее решение дифференциального уравнения y''''-3y'''+3y''-y'=2x

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения \( y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 2x \), начнем с решения однородного уравнения \[ y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 0. \] Решим характеристическое уравнение, соответствующее этому однородному уравнению. Для этого предположим, что решение имеет вид \( y = e^{rx} \), тогда характеристическое уравнение будет \[ r^4 - 3r^3 + 3r^2 - r = 0. \] Вынесем \( r \): \[ r(r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = 0. \] Одно из решений \( r_1 = 0 \). Теперь решим кубическое уравнение \( r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 \). Это уравнение можно решить с помощью метода подбора или применения теоремы Виета. Пробуем \( r = 1 \): \[ 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0. \] Таким образом, \( r = 1 \) является корнем. Теперь раскладем кубическое уравнение на множители, используя деление: \[ r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = (r - 1)(r^2 - 2r + 1) = (r - 1)(r - 1)^2 = (r - 1)^3. \] Таким образом, все корни характеристического уравнения: \[ r_1 = 0, \quad r_2 = 1, \quad r_3 = 1, \quad r_4 = 1. \] Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения: \[ y_h = C_1 + C_2 x + C_3 e^x + C_4 x e^x, \] где \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) — произвольные константы. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть равна \( 2x \), поэтому мы возьмем в качестве частного решения функцию вида \[ y_p = Ax + B, \] где \( A \) и \( B \) — некоторые константы. Теперь найдем производные: \[ y_p' = A, \quad y_p'' = 0, \quad y_p''' = 0, \quad y_p'''' = 0. \] Подставим эти производные в исходное уравнение: \[ 0 - 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - A = 2x. \] Так как левая часть уравнения не содержит \( x \), это уравнение всегда будет неверным. Попробуем взять более сложное частное решение, возможно, оно будет вида \[ y_p = Ax^2 + Bx. \] Тогда имеем: \[ y'_p = 2Ax + B, \quad y''_p = 2A, \quad y'''_p = 0, \quad y''''_p = 0. \] Подставляем в уравнение: \[ 0 - 3 \cdot 0 + 3 \cdot 2A - (2Ax + B) = 2x. \] Получим: \[ 6A - 2Ax - B = 2x. \] Приравняем коэффициенты: - Для \( x \): \(-2A = 2 \Rightarrow A = -1\). - Для свободного члена: \(6A - B = 0 \Rightarrow 6(-1) - B = 0 \Rightarrow B = -6\). Таким образом, частное решение: \[ y_p = -x^2 - 6x. \] Теперь составим общее решение дифференциального уравнения: \[ y = y_h + y_p = C_1 + C_2 x + C_3 e^x + C_4 x e^x - x^2 - 6x. \] Или в более удобной форме: \[ y = C_1 + (C_2 - 6)x - x^2 + C_3 e^x + C_4 x e^x. \]