Найти решение задачи Коши y'+ytg(x) =(cos(x)) ^2 ; y( π/4) =1/2

Рассмотрим задачу Коши: \[ y' + y \tan(x) = \cos^2(x), \] \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}. \] Это линейное дифференциальное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид: \[ y' + P(x)y = Q(x), \] где \(P(x) = \tan(x)\) и \(Q(x) = \cos^2(x)\). Теперь найдём интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \tan(x) \, dx} = e^{-\ln(\cos(x))} = \sec(x). \] Умножим всё уравнение на \(\sec(x)\): \[ \sec(x)y' + \sec(x)y \tan(x) = \sec(x) \cos^2(x). \] Левая часть теперь можно записать как производную: \[ \frac{d}{dx}(\sec(x) y) = \cos(x). \] Теперь интегрируем обе стороны: \[ \sec(x) y = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C, \] где \(C\) — это произвольная постоянная. Следовательно, наше решение принимает вид: \[ y = \cos(x)(\sin(x) + C). \] Теперь применим начальное условие \(y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + C\right). \] Значения \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right). \] Обозначим \(C\) и решим уравнение: \[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right), \] \[ 1 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right), \] \[ 1 = 1 + \sqrt{2}C. \] Из этого уравнения следует, что: \[ \sqrt{2}C = 0 \implies C = 0. \] Подставим значение \(C\) в решение: \[ y = \cos(x)\sin(x). \] Итак, окончательное решение задачи Коши: \[ y(x) = \cos(x) \sin(x) = \frac{1}{2} \sin(2x). \]