найти решение задачи Коши y'+ytg(x) =(cos(x)) ^2 ; y( π/4) =1/2

Рассмотрим задачу Коши:

\[ y' + y \tan(x) = \cos^2(x), \] \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}. \]

Это линейное дифференциальное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся методом интегрирующего множителя. Уравнение имеет вид:

\[ y' + P(x)y = Q(x), \]

где \(P(x) = \tan(x)\) и \(Q(x) = \cos^2(x)\).

Теперь найдём интегрирующий множитель:

\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \tan(x) \, dx} = e^{-\ln(\cos(x))} = \sec(x). \]

Умножим всё уравнение на \(\sec(x)\):

\[ \sec(x)y' + \sec(x)y \tan(x) = \sec(x) \cos^2(x). \]

Левая часть теперь можно записать как производную:

\[ \frac{d}{dx}(\sec(x) y) = \cos(x). \]

Теперь интегрируем обе стороны:

\[ \sec(x) y = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C, \]

где \(C\) — это произвольная постоянная. Следовательно, наше решение принимает вид:

\[ y = \cos(x)(\sin(x) + C). \]

Теперь применим начальное условие \(y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\):

\[ \frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + C\right). \]

Значения \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right). \]

Обозначим \(C\) и решим уравнение:

\[ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right), \] \[ 1 = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + C\right), \] \[ 1 = 1 + \sqrt{2}C. \]

Из этого уравнения следует, что:

\[ \sqrt{2}C = 0 \implies C = 0. \]

Подставим значение \(C\) в решение:

\[ y = \cos(x)\sin(x). \]

Итак, окончательное решение задачи Коши:

\[ y(x) = \cos(x) \sin(x) = \frac{1}{2} \sin(2x). \]