Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: 3t² - 4t - 4 = 0
Чтобы решить уравнение \( 3t^2 - 4t - 4 = 0 \), воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = -4 \).
Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:
\[ t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6} \]
Теперь найдем два корня:
- \( t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)
- \( t_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)
Таким образом, корни уравнения: \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = -\frac{2}{3} \).
Теперь проверим эти корни по обратной теореме Виета. Для квадратного уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) сумма корней \( t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} \) и произведение корней \( t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} \).
- Проверим сумму корней:
\[ t_1 + t_2 = 2 + \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
\[ -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3} \]
Сумма корней совпадает.
- Проверим произведение корней:
\[ t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} \]
\[ \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} \]
Произведение корней также совпадает.
Таким образом, корни уравнения \( 3t^2 - 4t - 4 = 0 \) — это \( t_1 = 2 \) и \( t_2 = -\frac{2}{3} \), и расчет подтвердил правильность решения.
