Чтобы решить уравнение ( 3t^2 - 4t - 4 = 0 ), воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 3 ), ( b = -4 ), ( c = -4 ).
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64
]
Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:
[
t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6}
]
Теперь найдем два корня:
- ( t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 )
- ( t_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} )
Таким образом, корни уравнения: ( t_1 = 2 ) и ( t_2 = -\frac{2}{3} ).
Теперь проверим эти корни по обратной теореме Виета. Для квадратного уравнения ( at^2 + bt + c = 0 ) сумма корней ( t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} ) и произведение корней ( t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a} ).
- Проверим сумму корней:
[
t_1 + t_2 = 2 + \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
]
[
-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3}
]
Сумма корней совпадает.
- Проверим произведение корней:
[
t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3}
]
[
\frac{c}{a} = \frac{-4}{3}
]
Произведение корней также совпадает.
Таким образом, корни уравнения ( 3t^2 - 4t - 4 = 0 ) — это ( t_1 = 2 ) и ( t_2 = -\frac{2}{3} ), и расчет подтвердил правильность решения.
