Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: 3t² - 4t - 4 = 0

Чтобы решить уравнение \(3t^2 - 4t - 4 = 0\), воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = -4\). 1. Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \] 2. Затем подставим значения в формулу: \[ t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6} \] Теперь найдем два корня: 1. Первый корень: \[ t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] 2. Второй корень: \[ t_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] Таким образом, корни уравнения: \(t_1 = 2\) и \(t_2 = -\frac{2}{3}\). Теперь проверим корни с помощью теоремы, обратной теореме Виета. По теореме Виета, если у равенства \(3t^2 - 4t - 4 = 0\) корни \(t_1\) и \(t_2\), то: - Сумма корней должна равняться: \[ t_1 + t_2 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] - Сумма корней (по теореме Виета): \[ -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3} \] - Произведение корней: \[ t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} \] - Произведение корней (по теореме Виета): \[ \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} \] Таким образом, обе проверки подтверждают правильность найденных корней \(t_1 = 2\) и \(t_2 = -\frac{2}{3}\).