Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: 3t² - 4t - 4 = 0
Чтобы решить уравнение \(3t^2 - 4t - 4 = 0\), воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 3\), \(b = -4\), \(c = -4\).
- Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \]
- Затем подставим значения в формулу:
\[ t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 8}{6} \]
Теперь найдем два корня:
- Первый корень:
\[ t_1 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
- Второй корень:
\[ t_2 = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \]
Таким образом, корни уравнения: \(t_1 = 2\) и \(t_2 = -\frac{2}{3}\).
Теперь проверим корни с помощью теоремы, обратной теореме Виета. По теореме Виета, если у равенства \(3t^2 - 4t - 4 = 0\) корни \(t_1\) и \(t_2\), то:
- Сумма корней должна равняться:
\[ t_1 + t_2 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
- Сумма корней (по теореме Виета):
\[ -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3} \]
- Произведение корней:
\[ t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3} \]
- Произведение корней (по теореме Виета):
\[ \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} \]
Таким образом, обе проверки подтверждают правильность найденных корней \(t_1 = 2\) и \(t_2 = -\frac{2}{3}\).
