В школе Бельчонок организовал турнир по шахматам, и ему нужно выбрать команду для участия. В команде должно быть ровно 5 зверят. На выбор у Бельчонка есть 12 разных участников: 7 волчат и 5 лисят. Сколько разных команд можно составить, если в команде может быть любое количество волчат и лисят?

Чтобы составить команду из 5 зверят, в которой могут быть как волчата, так и лисы, давайте обозначим количество волчат в команде как \( x \), а количество лисиц как \( y \). Поскольку в команде должно быть ровно 5 зверят, у нас есть уравнение: \[ x + y = 5 \] При этом \( x \) может быть от 0 до 5, поскольку в команде могут быть любые волчата, а \( y \) может быть от 0 до 5, и суммарное количество зверят должно быть 5. Для каждого случая мы будем считать количества способов выбрать волчат и лисиц. 1. **Когда \( x = 0 \)**: - \( y = 5 \) (вся команда - лисы). Количество способов выбрать 5 лисиц из 5: \(\binom{5}{5} = 1\) 2. **Когда \( x = 1 \)**: - \( y = 4 \). Количество способов: \(\binom{7}{1} \times \binom{5}{4} = 7 \times 5 = 35\) 3. **Когда \( x = 2 \)**: - \( y = 3 \). Количество способов: \(\binom{7}{2} \times \binom{5}{3} = 21 \times 10 = 210\) 4. **Когда \( x = 3 \)**: - \( y = 2 \). Количество способов: \(\binom{7}{3} \times \binom{5}{2} = 35 \times 10 = 350\) 5. **Когда \( x = 4 \)**: - \( y = 1 \). Количество способов: \(\binom{7}{4} \times \binom{5}{1} = 35 \times 5 = 175\) 6. **Когда \( x = 5 \)**: - \( y = 0 \). Количество способов выбрать 5 волчат из 7: \(\binom{7}{5} = 21\) Теперь сложим все возможные варианты: \[ 1 + 35 + 210 + 350 + 175 + 21 = 792 \] Таким образом, общее количество способов составить команду из 5 зверят составляет \( \boxed{792} \).